1、12.2.2 双曲线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法 题号双曲线的几何性质 1,3,5,8双曲线的标准方程 4,7双曲线的离心率 2,9直线与双曲线的位置关系 6,13综合应用 10,11,12【基础巩固】1.双曲线 2x2-y2=8的实轴长是( C )(A)2 (B)2 (C)4 (D)4解析:双曲线 2x2-y2=8化为标准形式为 - =1,所以 a=2,所以实轴长为 2a=4.故选 C.2.双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( C )(A)2 (B) (C) (D)解析:依题意( )(- )=-1,所以 a2=b2.则 e2= = =2,所
2、以 e= .故选 C.3.双曲线 - =1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( C )(A) (B)3 (C)4 (D)2解析:双曲线 - =1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线 y= x,此焦点到渐近线的距离2d= =4.故选 C.4.(2018三亚高二月考)已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则C的方程是( B )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1解析:依题意 c=3,又因为 e= = ,所以 a=2,所以 b2=c2-a2=32-22=5,所以 C的方程为 - =1.故选 B.5.(2018西安高二月考)若实数 k满足 0
3、b10),3由已知得所以所以焦距为 2c1=10.又因为 80,b20),则 a2=4,c2=5,所以 =52-42=32=9,所以曲线 C2的方程为 - =1.答案: - =18.(2017银川校级高二月考)求双曲线 25x2-y2=-25的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标及离心率,渐近线方程.解:因为双曲线方程 25x2-y2=-25,所以双曲线的标准方程为 -x2=1,所以 a=5,b=1,c= ,所以该双曲线的实轴长为 10,虚轴长为 2,焦点坐标为(0, ),顶点坐标为(0,5),离心率 e= ,渐近线方程为 y=5x.【能力提升】9.(2016全国卷)已知 F1,F2是双曲线 E:
4、- =1的左、右焦点,点 M在 E上,MF 1与 x轴垂直,sin MF 2F1= ,则 E的离心率为( A )(A) (B) (C) (D)2解析:由题不妨设|MF 1|= =1,|MF2|=3,4则 c= ,a=1,得 e= = .故选 A.10.已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1上的一点,F 1,F2是 C的两个焦点.若 0,b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA,OC所在的直线,点 B为该双曲线的焦点.若正方形 OABC的边长为 2,则 a= . 解析:由题意 a=b,c=2 ,所以 a=2.答案:212.(2018银川高二检测)设 A,B分别为双曲线 - =1(a0
5、,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距离为 .(1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2与双曲线的右支交于 M,N两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 +=t ,求 t的值及点 D的坐标.解:(1)由题意知 a=2 ,所以一条渐近线为 y= x,即 bx-2 y=0,所以 = .所以 b2=3,所以双曲线的方程为 - =1.5(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0,则 x1+x2=16 ,y1+y2=12.所以所以由 + =t ,得(16 ,12)=(4 t,3t),所以 t=4,点 D的坐标为(4 ,3).【探究创新】13.(2018合肥高二质检)在平面直角坐标系 xOy中,已知双曲线 C: - =1.设过点 M(0,1)的直线 l与双曲线 C交于 A,B两点.若 =2 ,则直线 l的斜率为 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 - =1, - =1.又 =2 , =(-x1,1-y1), =(x2,y2-1).所以 即代入双曲线方程联立解得 或所以 A(4,3),B(-2,0)或 A(-4,3),B(2,0),故 k= = 或 k= =- ,即直线 l的斜率为 .答案:
