1、12.3.2 抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法 题号抛物线的几何性质 8直线与抛物线的位置关系 1,9抛物线的焦点弦问题 2,3,7抛物线中的最值问题 4,10,11,13抛物线中的定值问题 12综合应用 5,6【基础巩固】1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p0),则( C )(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线 y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部,所以当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点;当
2、 k0 时,直线与抛物线有两个公共点.故选 C.2.过抛物线 y2=8x 的焦点作倾斜角为 45的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )(A)8 (B)16 (C)32 (D)64解析:由题可知抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),直线的方程为 y=x-2,代入 y2=8x,得(x-2) 2=8x,即 x2-12x+4=0,所以 x1+x2=12,弦长=x 1+x2+p=12+4=16.故选 B.3.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )(A)|FP1|+|FP2|=|FP3
3、|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP 1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ .因为 2x2=x1+x3,所以 2(x2+ )=(x1+ )+(x3+ ),即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|.2故选 C.4.(2018临川高二月考)抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )(A) (B) (C) (D)3解析:设抛物线 y=-x2上一点为(m,-m 2),该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为 ,当 m= 时,取得最
4、小值为 .故选 A.5.(2016全国卷)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k0)与 C 交于点 P,PFx 轴,则 k 等于( D )(A) (B)1 (C) (D)2解析:由题知 P(1,2),2=k.故选 D.6.(2018郑州高二检测)过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若A,B 在准线上的射影为 A1,B1,则A 1FB1等于( A )(A)90 (B)45 (C)60 (D)120解析: 如图,由抛物线定义知|AA 1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以AA 1F=AFA 1,又AA 1F=A 1FO,所以AFA 1
5、=A 1FO,同理BFB 1=B 1FO,于是AFA 1+BFB 1=A 1FO+B 1FO=A 1FB1.故A 1FB1=90.故选 A.7.(2018兰州高二检测)在抛物线 y2=16x 内,过点(2,1)且被此点平分的弦 AB 所在直线的方程是 . 解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为 k,则直线方程为 y-1=k(x-2),由消去 x 得 ky2-16y+16(1-2k)=0,所以 y1+y2= =2(y1,y2分别是 A,B 的纵坐标),所以 k=8.代入得 y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135的直
6、线被抛物线所截3得的弦长为 8,试求抛物线的标准方程.解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为 y2=2px(p0),则直线方程为 y=-x+ p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过 A,B 分别作准线的垂线,垂足为 C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ ,即 x1+x2+p=8.又 A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去 y 得 x2-3px+ =0.所以 x1+x2=3p,将代入,得 p=2.所以所求的抛物线标准方程为 y2=4x.当抛物线方程设为 y2=-2px(p0)时,同理可求得抛物线标准
7、方程为 y2=-4x.【能力提升】9.(2017高安市校级高二月考)已知直线 y=2 (x-1)与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点,点M(-1,m),若 =0,则 m 等于( B )(A) (B) (C) (D)0解析:由 可得 8x2-20x+8=0,解得 x=2 或 x= ,则 A(2,2 ),B( ,- ),点 M(-1,m),由 =0,4可得(3,2 -m)( ,- -m)=0.化简得 2m2-2 m+1=0,解得 m= .故选 B.10.(2018宜春高二月考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点)
8、,则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C) (D)解析:设点 A 的坐标为(a 2,a),点 B 的坐标为(b 2,b),直线 AB 的方程为 x=ty+m,与抛物线 y2=x 联立得 y2-ty-m=0,故 ab=-m,由 =2 得 a2b2+ab=2,故 ab=-2 或 ab=1(舍去),所以 m=2,所以ABO 的面积等于 m|a-b|=|a-b|=|a+ |,AFO 的面积等于 |a|= ,所以ABO 与AFO 的面积之和为|a+ |+ =| a|+| |2 =3.当且仅当|a|= 时,等号成立.故选 B.11.(2018云南质检)对于抛物线 y2=4
9、x 上任意一点 Q,点 P(a,0)满足|PQ|a|,则 a 的取值范围是 . 解析:设点 Q 的坐标为( ,y0),由|PQ|a|,得 +( -a)2a 2,整理得 ( +16-8a)0,因为 0,所以 +16-8a0,即 a2+ 恒成立.5而 2+ 的最小值为 2,所以 a2.答案:(-,212. (2018湖南六校联考)如图所示,已知点 M(a,3)是抛物线 y2=4x 上一定点,直线 AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于 A,B 两个不同的点.(1)求点 M 到其准线的距离;(2)求证:直线 AB 的斜率为定值.(1)解:因为 M(a,3)是抛物线 y2=4x 上一定点,所以
10、32=4a,a= ,所以 M( ,3).因为抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,所以点 M 到其准线的距离为 -(-1)= .(2)证明:由题知直线 MA,MB 的斜率存在且不为 0,设直线 MA 的方程为 y-3=k(x- ),由 得 y2- y+ -9=0.所以 yA+3= ,所以 yA= -3.因为直线 AM,BM 的斜率互为相反数,所以直线 BM 的方程为 y-3=-k(x- ).同理可得 yB= -3.(只需将 yA= -3 中的 k 换为-k)所以 kAB= = = = =- .所以直线 AB 的斜率为定值- .【探究创新】613.(2018枣庄高二月考)设点 P 在圆 C:x2+(y-6)2=5 上,点 Q 在抛物线 x2=4y 上,则|PQ|的最小值为 . 解析:设 Q(x,y),其中 x2=4y.又圆心 C(0,6),则|QC|= = (y0).当 y=4 时,|QC| min=2 ,所以|PQ| min=|QC|min-r=2 - = .答案:
