1、12.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一 推理1推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论(3)推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理常用的合情推理有归纳推理和类比推理知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于
2、什么推理？答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程(2)归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：三角形的两边之和大于第三边，三角形面积等于高与底乘积的.12可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，2(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 .13该推理属于什么推理？答案 类比推理梳理 类比推理(1)定
3、义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)(2)类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)1类比推理得到的结论可作为定理应用( )2由个别到一般的推理为归纳推理( )3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )类型一 归纳推理命 题 角 度 1 数 、 式 中 的 归 纳 推 理例 1 (1)观察下列等式：1 ，12 121 ，12 13 14 13 141 ，12 13 14 15 16 14 15
4、16，据此规律，第 n(nN )个等式可为_(2)已知 f(x) ，设 f1(x) f(x)， fn(x) fn1 (fn1 (x)(n1，且 nN )，则 f3(x)的x1 x表达式为_，猜想 fn(x)(nN )的表达式为_答案 (1)1 12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n(2)f3(x) fn(x)x1 4x x1 2n 1x解析 (1)等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，3故第 n(nN )个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1 ；等式右12 13 14 12n 1 12n边的特征：第 1 个有
5、 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n(nN )个等式右边有 n项，且由前几个等式的规律不难发现，第 n(nN )个等式右边应为 .1n 1 1n 2 12n(2) f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) fn1 (fn1 (x)， f2(x) f1(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f2(f2(x) ，x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x) f3(f3(x) ，x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x) f4(f4(x) ，x1 8x1 8 x1 8x x1 16x根据前几项可以猜想 fn(x) (nN
6、 )x1 2n 1x引申探究 在本例(2)中，若把“ fn(x) fn1 (fn1 (x)”改为“ fn(x) f(fn1 (x)”，其他条件不变，试猜想 fn(x) (nN )的表达式解 f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) f(fn1 (x)， f2(x) f(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f(f2(x) ，x1 2x1 x1 2x x1 3x4f4(x) f(f3(x) .x1 3x1 x1 3x x1 4x因此，可以猜想 fn(x) (nN )x1 nx反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等
7、式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和；根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式跟踪训练 1 (1)已知 x1，由不等式 x 2； x2 3； x3 4；，可以推广为( )1x 2x 3xA xn n B xn n1nx nxC xn n1 D xn nn 1x n 1x(2)观察下列等式：2 2
8、12；(sin 3) (sin 23) 432 2 2 2 23；(sin 5) (sin 25) (sin 35) (sin 45) 432 2 2 2 34；(sin 7) (sin 27) (sin 37) (sin 67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin 29) (sin 39) (sin 89) 43，照此规律，2 2 2 2 _.(sin 2n 1) (sin 22n 1) (sin 32n 1) (sin 2n2n 1)答案 (1)B (2) n(n1)43解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是 x， x2， x3，右边的数是 2,3,4，利用此规律观察所
9、给不等式，都是写成 xn n1 的形式，从而归纳出一般性结论：nx5xn n1，故选 B.nx(2)观察等式右边的规律：第 1 个数都是 ，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n1.43命 题 角 度 2 几 何 中 的 归 纳 推 理例 2 如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来( n1,2,3，)，则第 n 个图形中顶点的个数为( )A( n1)( n2) B( n2)( n3)C n2 D n答案 B解析 由已知图形我们可以得到：当 n1 时，顶点共有 1234(个)，当 n2 时，顶点共有 2045(个)，当 n3 时，顶点共有 3056(个)，当 n4 时，顶点共有
10、 4267(个)，则第 n 个图形共有顶点( n2)( n3)个，故选 B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是_答案 5 n1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的块数为 6( n1)55 n1.6类型二 类比推理例 3 如图所示，面积为 S 的平
11、面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i1,2,3,4)，若 k，则a11 a22 a33 a44h12 h23 h34 h4 ，2Sk类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i1,2,3,4)，若 K，则S11 S22 S33 S44H12 H23 H34 H4等于多少？解 对平面凸四边形：S a1h1 a2h2 a3h3 a4h412 12 12 12 (kh12 kh23 kh34 kh4)12 (h12 h23
12、 h34 h4)，k2所以 h12 h23 h34 h4 ；2Sk类比在三棱锥中，V S1H1 S2H2 S3H3 S4H413 13 13 13 (KH12 KH23 KH34 KH4)13 (H12 H23 H34 H4)K3故 H12 H23 H34 H4 .3VK反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比如下：7平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体跟踪训练 3 (1)若数列 an(
13、nN )是等差数列，则有数列 bn (nN )也a1 a2 ann是等差 数 列 ； 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 地 ： 若 数 列 cn是 等 比 数 列 ， 且 cn0， 则 有 数 列dn _(nN )也是等比数列答案 nc1c2c3cn解析 数列 an(nN )是等差数列，则有数列 bn (nN )也是等差数a1 a2 ann列类比猜想：若数列 cn是各项均为正数的等比数列，则当 dn 时，数列 dn也nc1c2c3cn是等比数列(2)如图所示，在 ABC 中，射影定理可表示为 a bcos C ccos B，其中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边类比上述定理，
14、写出对空间四面体性质的猜想解 如图所示，在四面体 P ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示 PAB， PBC， PCA，ABC 的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos .1有一串彩旗， 代表蓝色， 代表黄色两种彩旗排成一行：，那么在前 200 个彩旗中黄旗的个数为( )A111 B89 C133 D67答案 D解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为 9，每 9 个旗子中有 3 个黄旗则 200922 余 2，则 2
15、00 个旗子中黄旗的个数为 223167.故选 D.2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A三角形 B梯形8C平行四边形 D矩形答案 C解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选 C.3观察下列各式：11 2,2343 2,345675 2,456789107 2，可以得到的一般结论是( )A n( n1)( n2)(3 n2) n2B n( n1)( n2)(3 n2)(2 n1) 2C n( n1)( n2)(3 n1) n2D n( n1)( n2)(3 n1)(2 n1) 2答案 B4在平面上，若两个正三角形的边长的比
16、为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_答案 18解析 设两个正四面体的体积分别为 V1， V2，则 V1 V2 S1h1 S2h2 S1h1 S2h218.13 135.在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 ， ，cos 2 cos 2 1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明解 在长方形 ABCD 中，cos2 cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ， ， ，则cos2 cos 2 cos 2 1.证明如下：c
17、os2 cos 2 cos 2 2 2 2(ml) (nl) (gl)9 1.m2 n2 g2l2 l2l21用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明2进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误3多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、选择题1下面使用类
18、比推理，得出的结论正确的是( )A若“ a3 b3，则 a b”类比出“若 a0 b0，则 a b”B “若( a b)c ac bc”类比出“( ab)c acbc”C “若( a b)c ac bc”类比出“ (c0)”a bc ac bcD “(ab)n anbn”类比出“( a b)n an bn”答案 C解析 显然 A，B，D 不正确，只有 C 正确2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B.C. D.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果
19、103平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( )A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比4根据给出的数塔猜测 123 45697 等于( )192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.5用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示
20、按照图中所示的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6 n2 B8 n2C6 n2 D8 n2答案 C解析 从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.6已知 bn为等比数列， b52，则 b1b2b3b4b5b6b7b8b92 9.若 an为等差数列， a52，则 an的类似结论为( )A a1a2a3a92 9B a1 a2 a3 a92 911C a1a2a3a929D a1 a2 a3 a929答案 D7设 ABC 的三边长分别为 a， b，
21、 c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则r ，类比这个结论可知：四面体 A BCD 的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，2Sa b c内切球半径为 R，四面体 A BCD 的体积为 V，则 R 等于( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V (S1 S2 S3 S4)R，13 R .3VS1 S2 S3
22、S48已知 f(1)1， f(2)3， f(3)4， f(4)7， f(5)11，则 f(10)等于( )A28 B76 C123 D199答案 C解析 由题意可得 f(3) f(1) f(2)，f(4) f(2) f(3)， f(5) f(3) f(4)，则 f(6) f(4) f(5)18， f(7) f(5) f(6)29，f(8) f(6) f(7)47， f(9) f(7) f(8)76，f(10) f(8) f(9)123.二、填空题9正整数按下表的规律排列，则上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用12答案 2
23、 0172 018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1，根据题意，左起第 2 018 列的第一个数为 2 01721，由连线规律可知，上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为 2 01722 0172 0172 018.10经计算发现下列不等式： 0，且 a1， f(x) .1ax a(1)求值： f(0) f(1)， f(1) f(2)；13(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数 x 都成立的一个等式，并加以证明解 (1) f(0) f(1) ，11 a 1a a 1a aaf(1) f(2) .1a 1 a
24、1a2 a 1a aa(2)由(1)归纳得对一切实数 x，有 f(x) f(1 x) .aa证明： f(x) f(1 x) 1ax a 1a1 x a .1ax a axaa ax a axaa ax 1a aa四、探究与拓展14对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 53的“分裂”中的最小数为 a,52的“分裂”中的最大数是 b，则 a b_.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得 a21， b9， a b30.15如图(1)，在平面内有面积关系 ，写出图(2)中类似的体积关S PA BS PAB PAPA PBPB系，并证明你的结论解 类比 ，S PA BS PAB PAPA PBPB14有 VPA B CVPABC PAPA PBPB PCPC证明如下：如图(2)，设 C， C 到平面 PAB 的距离分别为 h， h.则 ，hh PCPC故 VPA B CVPABC13S PA B h13S PABh .PA PB hPAPBh PA PB PCPAPBPC
