1、12.1.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 1001)是奇数，所以(2 1001)不能被 2 整除答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论梳理 演绎推理的含义(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理(2)特征：当前提为真时，结论必然为真知识点二 演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个
2、推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电梳理 演绎推理的规则一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 所以， S 是 P1演绎推理的结论一定正确( )2在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断( )23大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的( )类型一 三种演绎推理的形式例 1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程(1)函数 ysin x(xR)
3、是周期函数；(2)当 k1 时， ；k k 1 k 1 k(3)若 nZ，求证 n2 n 为偶数解 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提ysin x(xR)是三角函数，小前提 ysin x(xR)是周期函数结论(2)传递性关系推理：当 k1 时， k k 1 .1k k 1 12k 1k k 1 k 1 k(3)完全归纳推理： n2 n n(n1)，当 n 为偶数时， n2 n 为偶数，当 n 为奇数时， n1 为偶数， n2 n 为偶数，当 nZ 时， n2 n 为偶数反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平
4、行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理跟踪训练 1 选择合适的推理规则写出下列推理过程(1)75 是奇数；(2)平面 ， ，已知直线 l ， l ， m，则 l m.解 (1)三段论推理：一切奇数都不能被 2 整除大前提75 不能被 2 整除小前提75 是奇数结论(2)传递性关系推理：如图，在平面 内任取一点 P(Pm)， l ， Pl，则 l 与点 P 确定一平面与 相交，设交线为 a，则 a l，同理，在 内任取一点Q(Qm)， l 与点 Q 确定一平面与 交于 b，则 l b，从而 a b.3由 P a，
5、 Pm， a ，而 b ， a .又 a ， m， a m， l m.类型二 三段论的应用命 题 角 度 1 用 三 段 论 证 明 几 何 问 题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点， BFD A， DE BA，求证： ED AF，写出三段论形式的演绎推理证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提 BFD 与 A 是同位角，且 BFD A，小前提所以 FD AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE BA，且 FD AE，小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边
6、，小前提所以 ED AF.结论反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式 大前提 小前提 结论(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路找出每一个结论得出的原因把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： EF平面 BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，小前提4所以 EF BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面 BCD， BD平面 BCD， EF BD，小前提所以 EF平面 BC
7、D.结论命 题 角 度 2 用 三 段 论 解 决 代 数 问 题例 3 设函数 f(x) ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2 ax a围解 若函数的定义域为 R，则函数对任意实数恒有意义，大前提因为 f(x)的定义域为 R，小前提所以 x2 ax a0 恒成立，结论所以 a24 a0.在(，0)和(2 a，)上， f( x)0. f(x)的单调增区间为(，0)，(2 a，)当 a2 时， f( x)0 恒成立， f(x)的单调增区间为(，)当 20， f(x)的单调增区间为(，2 a)，(0，)综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(1，)上为
8、增函x 2x 1数5证明 f(x) ax ax1 .x 1 3x 1 3x 1所以 f( x) axln a .3x 12因为 x1，所以( x1) 20，所以 0.3x 12又 a1，所以 ln a0， ax0，所以 axln a0，所以 f( x)0.于是， f(x) ax 在(1，)上是增函数.x 2x 11下面几种推理过程是演绎推理的是( )A两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A B180B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列
9、an中， a11， an (n2)，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)答案 A解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理2指数函数 y ax(a1)是 R 上的增函数， y2 |x|是指数函数，所以 y2 |x|是 R 上的增函数以上推理( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数 y2 |x|不是指数函数，所以小前提错误，故选 B.3三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的” ，其中的“小前提”是(
10、 )A B C D答案 D4把“函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；6小前提：_；结论：_.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y x2 x1 是二次函数 函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线5设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22 mx m10 有两个相异实根证明 因为如果一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的判别式 b24 ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程 x22 mx m10 的判别式 (2 m)24( m1)4 m24 m4(2 m1) 230，小前提所以方程 x22 mx m10 有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，
11、应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1 论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足 ”上述推理用的是( )A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论答案 C2下列表述正确的是( )归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推
12、理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理7A BC D答案 D解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确3命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论” ，但推理形式错误D使用了“三段论” ，但小前提错误答案 C解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误4 “所有 9 的倍数( M)都是 3 的倍数( P)，某奇数( S)是 9 的倍数( M)，故某奇数( S)是 3 的倍数(
13、P) ”上述推理是( )A小前提错 B结论错C正确的 D大前提错答案 C解析 由三段论推理概念知推理正确5在证明 f(x)2 x1 为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数 f(x)2 x1 满足增函数的定义是大前提；函数 f(x)2 x1 满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是( )A BC D考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 A解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是 f(x)2 x1 满足增函数的定义；结论是 f(x)2 x1 为增函数，故正确6下面几种推理中是演绎推理的是( )A因为 y2 x是指数函数，所
14、以函数 y2 x经过定点(0,1)8B猜想数列 ， ， ，的通项公式为 an (nN )112 123 134 1nn 1C由圆 x2 y2 r2的面积为 r2，猜想出椭圆 1 的面积为 abx2a2 y2b2D由平面直角坐标系中圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为( x a)2( y b)2( z c)2 r2答案 A7自主招生联盟成形于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟， “华约”联盟， “卓越”联盟和“京派”联盟在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：a报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；b报考“华
15、约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；c报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；d不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多C报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越”联盟D报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟答案 D解析 令集合 U 表示调查的全体学生集合 E 表示报考“北约”联盟的学生，集合 F 表示报考“华约”联盟的学生，集合 G 表示报考“京派”联盟的学生，集合 H 表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得 Error!A 中， F H，结论正确；B 中， F G，
16、结论正确；C 中，EH，结论正确8在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x a)0 对任意实数 x 都成立，则 14( a2 a1)0 且 a1)ax a x2 ax a x2(1)523，请你推测 g(5)能否用 f(2)， f(3)， g(2)， g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广11解 (1)由题知， f(3)g(2) g(3)f(2) .a3 a 32 a2 a 22 a3 a 32 a2 a 22 a5 a 52又 g(5) ，a5 a 52因此， g(5) f(3)g(2) g(3)f(2)(2)由 g(5) f(3)g(2) g(3)f(2)，即 g(23) f(3)g(2) g(3)f(2)，推测 g(x y) f(x)g(y) g(x)f(y)证明：因为 f(x) ， g(x) ，大前提ax a x2 ax a x2所以 g(x y) ，ax y a x y2g(y) ， f(y) ，小前提及结论ay a y2 ay a y2所以 f(x)g(y) g(x)f(y) ax a x2 ay a y2 ax a x2 ay a y2 g(x y)ax y a x y2
