1、12.2.1 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一 直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法知识点二 综合法阅读下列证明过程，已知实数 x， y 满足 x y1，求证：2 x2 y2 .2证明：因为 x y1，所以 2x2 y2 2 2 ，当且仅当 x y 时，等号2x2y 2x y 212成立故 2x2 y2 成立2思考 该题的证明顺序是什么？答案 从已知利用基本不等式到待证结论梳理 综合法(1)定义：综合法是从已知条件出发
2、，经过逐步的推理，最后达到待证结论(2)逻辑关系： P0(已知) P1P2PnQ(结论)(3)特点：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a， b0，求证 .a b2 ab证明：要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab2只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件梳理 分析法(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件
3、或已被证明的事实(2)逻辑关系： B(结论) B1B2BnA(已知)(3)特点：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件(4)证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立1综合法是执果索因的逆推证法( )2分析法就是从结论推向已知( )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在 ABC 中，三个内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证： ABC 为等边三角形证明 在 ABC 中， A B C，由 A， B， C 成等差
4、数列，得 2B A C，因此， B ， 3由 a， b， c 成等比数列，得 b2 ac.又 b2 a2 c22 accos B a2 c2 ac， a2 c2 ac ac，即( a c)20，因此 a c.故 ABC 是等边三角形反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型在使用综合法3证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱跟踪训练 1 已知 a， b， c 为不全相等的正实数求证： 3.b c aa c a bb a b cc证明 因为 b
5、 c aa c a bb a b cc 3，ba ab cb bc ac ca又 a， b， c 为不全相等的正实数，而 2， 2， 2，ba ab cb bc ac ca且上述三式等号不能同时成立，所以 3633，ba ab cb bc ac ca即 3.b c aa c a bb a b cc类型二 分析法的应用例 2 设 a， b 为实数，求证： (a b)a2 b222证明 当 a b0 时，因为 0，a2 b2所以 (a b)成立a2 b222当 a b0 时，用分析法证明如下：要证 (a b)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2 b2 (a2 b22
6、 ab)，12即证 a2 b22 ab.由于 a2 b22 ab 对一切实数恒成立，所以 (a b)a2 b222综上，对任意实数 a， b， (a b)a2 b222反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证” “只需证” “即证”这些词语必不可少，否则会出现错误(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解4跟踪训练 2 求证： abc.a b2 b c2 a c2由公式知 0， 0， 0.a b2 ab b c2 bc a c2 ac因为 a， b， c 不全相等，上面三式相
7、乘，得 abc，a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2所以 logx log x log x 0)12 12证明 要证 12log(a b) 12l(a21) 12l(b21)成立，12 12只需证 2 (a b) (a21) og(b21)，只需证 12l(a b)2 1l(a21)( b21)( a b0)5由于函数 y 12logx 在(0，)内是减函数，所以只需证( a b)2( a21)( b21)，即证 a22 ab b2 a2b2 a2 b21，即证 a2b22 ab10，即证( ab1) 20，上式显然成立，所以原不等式成立反思与
8、感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为 a 与 b， b 与 c 的等差中项，求证： 2.ax cy证明 由已知条件得b2 ac，2x a b,2y b c.要证 2，只要证 ay cx2 xy，ax cy只要证 2ay2 cx4 xy.由得 2ay2 cx
9、a(b c) c(a b) ab2 ac bc，4xy( a b)(b c) ab b2 ac bc ab2 ac bc，所以 2ay2 cx4 xy.命题得证.1若 ab0，则下列不等式中不正确的是( )A a2ab B abb2C. D a2b21a1b答案 C解析 若 ab0，则 b0 时，才有 a2b2，只需证 2 a，x 2x ( x1) 0， cba.11 x 1 1 x21 x x21 x4要证明 1， x y0，则( )A x0， y0 B x0， y0答案 A解析 Error! Error!2在非等边三角形 ABC 中， A 为钝角，则三边 a， b， c 满足的条件是( )
10、A b2 c2 a2 B b2 c2a2C b2 c2 a2 D b2 c24ab， aba2 b22 a2 b24 a2 b24 1，故 B 正确a2 b24 2ab4 a b245分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设 abc，且 a b c0，求证：0 B a c0C( a b)(a c)0 D( a b)(a c)0，即证( a c)(a b)0.6若 A， B 为 ABC 的内角，则 AB 是 sin Asin B 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理知 2 R(R 为 ABC 的外接圆半径)，又 A， B 为三角形
11、的内角，asin A bsin Bsin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.7设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)单调递减若 x1 x20，则 f(x1) f(x2)的值( )A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题9答案 A解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的减函数由 x1 x20，可知 x1 x2，所以 f(x1)0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点 综合法及应用题点
12、利用综合法解决函数问题答案 综合法9设 a ， b ， c ，则 a， b， c 的大小顺序是_3 2 6 5 7 6答案 abc解析 a ， b ， c ， abc.13 2 16 5 17 610.如图所示， SA平面 ABC， AB BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF SC.证明：要证 AF SC，只需证 SC平面 AEF，只需证 AE SC(因为_)，只需证_，只需证 AE BC(因为_)，只需证 BC平面 SAB，只需证BC SA(因为_)由 SA平面 ABC 可知，上式成立答案 EF SC AE平面 SBC AE SB A
13、B BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC平面 SAB，可得 AE BC，进而 AE平面 SBC， SC平面 AEF，问题得证1011设 a0， b0，则下面两式的大小关系为 ln(1 )_ lg(1 a)lg(1 b)ab12答案 解析 (1 )2(1 a)(1 b)2 ( a b)0，ab ab(1 )2(1 a)(1 b)，ab则 lg(1 )2lg(1 a)(1 b)，ab即 lg(1 ) lg(1 a)lg(1 b)ab12三、解答题12如果 a， b 都是正数，且 a b，求证： .ab ba a b证明 方法一 (综合法) ab ba
14、a b aa bb ab baab 0，a ba bab a b2a bab故 .ab ba a b方法二 (分析法)要证 ，ab ba a b只需证 2 a b2 ，a2b b2a ab ab即证 a3 b3a2b ab2，只需证( a b)(a2 ab b2)ab(a b)，即需证 a2 ab b2ab，只需证( a b)20，因为 a b，所以( a b)20 恒成立，所以 成立ab ba a b13在 ABC 中，三边 a， b， c 成等比数列，求证： acos2 ccos2 b.C A 32证明 左边 a1 cos C2 c1 cos A2 (a c) (acos C ccos A
15、)12 12 (a c)12 12(aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc )11 (a c) b b b右边，12 12 ac b2 b2 32 acos2 ccos2 b.C A 32四、探究与拓展14如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1C B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证 A1C B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可15某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的： 1.41，2 2.82， 2 .2 2 1 3 2(2)一般结论为：若 nN ，则 2 .n n 2 n 1证明如下：要证 2 ，n n 2 n 1只需证( )2(2 )2，n n 2 n 1即证 2n22 4n4，nn 212也就是证 n1，nn 2只需证 n(n2) n22 n1，即证 01，显然成立，故 2 (nN )n n 2 n 1
