1、1第二章 推理与证明章末检测试卷(二)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数，以上三段论推理( )A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D “两个整数”概念不一致答案 A解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的2已知 2 ， 3 ， 4 ，若 a (a， t 均为正实数)，2 23 23 3 38 38 4 415 415 a 7t 7t类比以上等式，可推测 a， t 的值，则 t a 等于( )A31 B41 C55 D71答案 B解析 观察下列等式： 2 ，2
2、 23 233 ， 4 ，3 38 38 4 415 415照此规律，第 6 个等式中 a7， t a2148， t a41.故选 B.3观察下列各等式： 2， 2， 2， 2，依照以上各式成立22 4 66 4 55 4 33 4 77 4 11 4 1010 4 2 2 4的规律，得到一般性的等式为( )A. 2nn 4 8 n8 n 4B. 2n 1n 1 4 n 1 5n 1 4C. 2nn 4 n 4n 4 42D. 2n 1n 1 4 n 5n 5 4答案 A解析 观察分子中 26537110(2)8.4用反证法证明命题“ 是无理数”时，假设正确的是( )2 3A假设 是有理数 B
3、假设 是有理数2 3C假设 或 是有理数 D假设 是有理数2 3 2 3答案 D解析 应对结论进行否定，则 不是无理数，2 3即 是有理数2 35下列推理正确的是( )A把 a(b c)与 loga(x y)类比，则有 loga(x y)log axlog ayB把 a(b c)与 sin(x y)类比，则有 sin(x y)sin xsin yC把 a(b c)与 ax y类比，则有 ax y ax ayD把( a b) c 与( xy)z 类比，则有( xy)z x(yz)答案 D解析 ( xy)z x(yz)是乘法的结合律，正确6我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小
4、不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有( )两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4 个 B3 个 C2 个 D1 个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体7求证： ，证明：因为 和 都是正数，所以为了证明 ，只需证2 3 5 2 3 5 2 3 5明( )2( )2，展开得 52 5，即 2 0，此式显然成立，所以不等式 成2 3 5 6 6 2 3 5立上述证明过程应用了( )A综合法 B分析法C综合法及分析法 D间接证法答案 B解析 从证明过程可以看出，符合分析法的特点8已知 f(x1) ， f(1)1(
5、xN )，猜想 f(x)的表达式为( )2fxfx 2A. B.42x 2 2x 13C. D.1x 1 22x 1答案 B解析 当 x1 时， f(2) ，2f1f1 2 23 22 1当 x2 时， f(3) ，2f2f2 2 24 23 1当 x3 时， f(4) ，2f3f3 2 25 24 1故可猜想 f(x) ，故选 B.2x 19甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则下列说法正确的是( )A丙被录用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了考点 反证法及
6、应用题点 反证法的应用答案 C解析 假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立故选 C.10设 a， b， c 是不全相等的正数，给出下列判断：( a b)2( b c)2( c a)20； a b 与 b c 及 a c 中至少有一个成立； a c， b c， a b 不能同时成立其中判断正确的个数为( )A0 B1 C2 D3考点 合情推理的含义题点 合情推理的含义答案 B解析 若( a b)2( b c)2( c a)20，则
7、a b c，与“ a， b， c 是不全相等的正数”矛盾，故正确 a b 与 b c 及 a c 中最多只能有一个成立，故不正确由于“ a， b， c4是不全相等的正数” ，有两种情形：有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确11某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(其中 x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )A y B yx 510 x 410C y D yx 310 x10答案 C解析 根据规定每 10 人推选一名代表，当各班人
8、数除以 10 的余数大于 6 时，再增加一名代表，即余数分别为 7,8,9 时，可增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该加 3，因此，利用取整函数可表示为 y .x 31012如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第3 层每边有 3 个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有 169 个点，那么它的层数为( )A6 B7C8 D9答案 C解析 由题意知，第 1 层的点数为 1，第 2 层的点数为 6，第 3 层的点数为 26，第 4 层的点数为 36，第 5 层的点数为 46，第 n(n2， nN )层的点数为 6(n1)设一个点阵有
9、 n(n2， nN )层，则共有的点数为 16626( n1)1 (n1)3 n23 n1.由题意得 3n23 n1169，即( n7)( n8)6 6n 120，所以 n8，故共有 8 层二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知 a0， b0， mlg ， nlg ，则 m， n 的大小关系是_a b2 a b2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 mn解析 ab0 0a b2 a b( )2( )2 ab ab a b a b a b a ba b25lg lg .a b2 a b2 a b214观察下列等式：(11)21，(21)(22)2
10、213，(31)(32)(33)2 3135，照此规律，第 n 个等式可为_答案 ( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第 n 个等式左边为( n1)( n2)( n n)；由已知的三个等式右边的变化规律，得第 n 个等式右边为 2n与 n 个奇数之积，即2n13(2n1)15已知圆的方程是 x2 y2 r2，则经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程为 x0x y0y r2，类比上述性质，可以得到椭圆 1 类似的性质为x2a2 y2b2_答案 1x0xa2 y0yb2解析 圆的性质中，经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程就是将圆的
11、方程中的一个 x 与 y 分别用 M(x0， y0)的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆 1 类似的性质为过椭圆x2a2 y2b2 1 上一点 P(x0， y0)的切线方程为 1.x2a2 y2b2 x0xa2 y0yb216有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_答案 1 和 3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”又乙说“我
12、与丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“2 和 3”所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，得甲只能为“1 和 3”三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 已 知 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 前 n 项 和 为 Sn， an有 如 下 性 质 ：(m， n， p， qN )通项 an am( n m)d；若 m n p q，则 am an ap aq；6若 m n2 p，则 am an2 ap； Sn， S2n Sn， S3n S2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列 bn中，写出类似的性质解 在等比数 列 bn中 ， 公 比 为 (
13、0)， 前 n 项 和 为 Sn ， bn有 如 下 性 质 ：(m， n， p， q N )通项 bn bm n m；若 m n p q，则 bmbn bpbq；若 m n2 p，则 bmbn b ；2p Sn， S2n Sn， S3n S2n( Sn0)构成等比数列18(12 分)已知实数 p 满足不等式(2 p1)( p2)0.所以 4(ab ac bc)(a b c)2.所以 3(ab ac bc)( a b c)24(ab ac bc)22(12 分)设 an是公比为 q 的等比数列(1)推导数列 an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列 an1不是等比数列考点 反证法及应用
14、题点 反证法的应用8(1)解 设数列 an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Sn a1 a1 a1 na1；当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 ，qSn a1q a1q2 a1qn，由得，(1 q)Sn a1 a1qn，所以 Sn ，a11 qn1 q综上所述， SnError!(2)证明 假设 an1是等比数列，则对任意的 kN ，(ak1 1) 2( ak1)( ak2 1)，a 2 ak1 1 akak2 ak ak2 1，2k 1a q2k2 a1qk a1qk1 a1qk1 a1qk1 a1qk1 ，21因为 a10，所以 2qk qk1 qk1 .因为 q0，所以 q22 q10，所以 q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列 an1不是等比数列
