1、12.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.自学导引1.设 a1， a2， an， b1， b2， bn为实数，则( a a a ) (b b b )21 2 2n12 21 2 2n| a1b1 a2b2 anbn|，其中等号成立 (当 bj0 时，认为12 a1b1 a2b2 anbnaj0， j1，2， n).2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.基础自测1.设 x， y， z 满足 x22 y23 z23，则 x2 y3 z
2、的最大值是( )A.3 B.42C. D.6322解析 x2 y3 z x ( y) ( z)2 2 3 3 x 2（ 2y） 3（ 3z） 2 3 ，选 A.（ x2 2y2 3z2） （ 1 2 3） 18 2答案 A2.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A.1 B.nC.n2 D.1n解析 ( a1 a2 an)(1a1 1a2 1an)( )2( )2( )2a1 a2 an( 1a2)2 ( 1a2)2 ( 1an)2 n2，选 C.(a1 1a2 a2 1a2 an 1an)2 答案 C23.已知 x、 y、 zR *且 x y z ，则 x2 y2 z2
3、的最小值是_.2解析 x2 y2 z2（ x2 y2 z2） （ 12 12 12）3 .（ x y z） 23 23答案 23知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 设 a， b， c 为正数且互不相等，求证： .2a b 2b c 2c a 9a b c证明 2( a b c)(1a b 1b c 1c a)( a b)( b c)( c a)(1a b 1b c 1c a)( )2( )2( )2a b b c c a( )2( )2( )21a b 1b c 1c a(a b 1a b b c 1b c c a 1c a)2 (111) 29. .2a b 2b c 2c a
4、9a b c a， b， c 互不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立.反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知 a1， a2， a3为实数， b1， b2， b3为正实数.求证： .（ a1 a2 a3） 2b1 b2 b3证明 由柯西不等式得：(b1 b2 b3) (a1b1b1 a2b2b2 a3b3b3)2 ( a1 a2 a3)2.3 .（ a1 a2 a3） 2b1 b2 b3知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 2】 已知 a， b， cR 且 a b c1，求 的最大值.4a 1 4
5、b 1 4c 1解 4a 1 4b 1 4c 1 1 1 14a 1 4b 1 4c 1(4 a14 b14 c1) (121 21 2)12 12 .7 3 21当且仅当 时取等号.4a 11 4b 11 4c 11即 a b c 时，所求的最大值为 .13 21 反 思 感 悟 ： 利 用 柯 西 不 等 式 ， 可 以 方 便 地 解 决 一 些 函 数 的 最 大 值 或 最 小 值 问 题.通 过 巧 拆 常 数 、重 新 排 序 、 改 变 结 构 、 添 项 等 技 巧 变 形 为 能 利 用 柯 西 不 等 式 的 形 式.2.若 a， bR 且 a b1，则 的最小值为_.(
6、a1a)2 (b 1b)2 解析 (121 2)(a1a)2 (b 1b)2 (a1a b 1b)2 (1 b aab)2 (1 1ab)2 a， bR ，1 a b2 ， ，ab ab12即 ab ， 4.14 1ab 25.(11ab)2 2 25(a1a)2 (b 1b)2 即 .(a1a)2 (b 1b)2 252答案 252知识点 3 利用柯西不等式解方程【例 3】 在实数集内解方程 .x2 y2 z2 94 8x 6y 24y 39)解 由柯西不等式，得( x2 y2 z2)(8) 26 2(24) 24(8 x6 y24 y)2( x2 y2 z2)(8) 26 2(24) 2
7、(6436576)39 294又(8 x6 y24 y)239 2( x2 y2 z2)(8) 26 2(24) 2(8 x6 y24 z)2，即不等式中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 ，x 8 y6 z 24它与8 x6 y24 y39 联立，可得x ， y ， z .613 926 1813反思感悟：利用柯西不等式解方程.关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：2 .1 2x 4x 3 15解 2 11 2x 4x 3 22 4x 4x 3 .2 4x 4x 3 2 1 5 3 15又由已知 2 .所以等号成立，
8、1 2x 4x 3 15由等号成立的条件 1 2 4x 4x 3 2得：24 x8 x6， x ，13即方程的解为 x .13课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.已知 x， y， zR 且 x y z1，则 x2 y2 z2的最小值是( ) 5A.1 B.13C. D.223解析 x2 y2 z2（ x2 y2 z2） （ 12 12 12
9、）3 ，故应选 B.（ x y z） 23 13答案 B2. ABC 的三边长为 a、 b、 c，其外接圆半径为 R，求证：(a2 b2 c2) 36 R2.(1sin2A 1sin2B 1sin2C)证明 由三角形中的正弦定理得sin A ，所以 ，a2R 1sin2A 4R2a2同理 ， 1sin2B 4R2b2 1sin2C 4R2c2于是左边( a2 b2 c2)(4R2a2 4R2b2 4R2c2) 36 R2.(a2Ra b2Rb c2Rc)2 故原不等式获证.3.已知 a1， a2， an都是实数，求证：(a1 a2 an)2 a a a .1n 21 2 2n证明 (1 21
10、21 2)(a a a )21 2 2n(1 a11 a21 an)2. n(a a a )( a1 a2 an)221 2 2n (a1 a2 an)2 a a a .1n 21 2 2n基础达标1.设 a， b， cR ，且 a b c3，则 的最小值为( )1a 1b 1cA.9 B.3 C. D.13解析 ( )2( )2( )2a b c (1a)2 (1b)2 (1c)2 6 (a1a b1b c1c)2 即( a b c) 3 2.(1a 1b 1c)又 a b c3， 3，最小值为 3.1a 1b 1c答案 B2.已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2
11、anxn的最大值为( )21 2 2n 21 2 2nA.1 B.nC. D.2n解析 由柯西不等式( a a a )(x x x )( a1x1 a2x2 anxn)221 2 2n 21 2 2n得 11( a1x1 a2x2 anxn)2， a1x1 a2x2 anxn1.所求的最大值为 1.答案 A3.已知 a， b， c 为正数，则 有( )(ab bc ca)(ba cb ac)A.最大值 9 B.最小值 9C.最大值 3 D.最小值 3解析 (ab bc ca)(ba cb ac)( )2( )2( )2ab bc ca( )2( )2( )2ba cb ac( )29.ab b
12、a bc cb ca ac答案 B4.设 a， bR ，则 与 的大小关系是_.a b2 a b解析 a b （ a） 2 （ b） 2 12 1212 ( 1 1) . .12 a b a b2 a b a b2答案 a ba b25.已知 x2 y3 z1，则 x2 y2 z2的最小值为_.解析 由柯西不等式，有( x2 y2 z2)(122 23 2)( x2 y3 z)721， x2 y2 z2 ，114当且仅当 时取等号.x1 y2 z3即 x ， y ， z 时， x2 y2 z2取最小值 .114 17 314 114答案 1146.已知实数 a， b， c， d 满足 a b
13、c d3， a22 b23 c26 d25，试求 a 的最值.解 由柯西不等式得，有(2b23 c26 d2) ( b c d)2(12 13 16)即 2b23 c26 d2( b c d)2由条件可得，5 a2(3 a)2解得，1 a2 当且仅当 时等号成立，当 b ， c ， d 时， amax2.2b123c136d16 12 13 16b1， c ， d 时， amin1.23 13综合提高7.已知 2x3 y4 z10，则 x2 y2 z2取到最小值时的 x， y， z 的值为( )A. ， ， B. ， ，53 109 56 2029 3029 4029C.1， ， D.1， ，
14、12 13 14 19解析 x2 y2 z2（ x2 y2 z2） （ 22 32 42）29 （ 2x 3y 4z） 229 10029当且仅当 时，等号成立，则 4k9 k16 k29 k10，x 2k，y 3k，z 4k)解得 k ， 选 B.1029 x 2029，y 3029，z 4029.)答案 B8.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )8A.1 B.nC.n2 D.1n解析 设 n 个正数为 x1， x2， xn，由柯西不等式，得(x1 x2 xn) (111) 2 n2.1x1 (1x2 1xn) (x11x1 x21x2 xn1xn)2 答案 C9.设
15、 m、 n、 p 为正实数，且 m2 n2 p20.则 的最小值为_.pm n解析 2 p22( m2 n2)(1 21 2)(m2 n2)( m n)2， ， .p2（ m n） 2 12 pm n 22当且仅当 m n 时取等号. 的最小值为 .pm n 22答案 2210.已知实数 a， b， c， d， e 满足 a b c d e8， a2 b2 c2 d2 e216，则 e 的取值范围为_.解析 4( a2 b2 c2 d2)(1111)( a2 b2 c2 d2)( a b c d)2即 4(16 e2)(8 e)2，即 644 e26416 e e25 e216 e0，故 0
16、e .165答案 0，16511.已知 x， y， zR，且 x y z8， x2 y2 z224.求证： x4， y4， z4.43 43 43证明 显然 x y8 z，xy z28 z20（ x y） 2 （ x2 y2）2 x， y 是方程 t2(8 z)t z28 z200 的两个实根，由 0 得 z4，439同理可得 y4， x4.43 4312.设 p 是 ABC 内的一点， x， y， z 是 p 到三边 a， b， c 的距离. R 是 ABC 外接圆的半径，证明： . x y z12R a2 b2 c2证明 由柯西不等式得， x y z ax1a by 1b cz 1c ax by cz1a 1b 1c设 S 为 ABC 的面积，则ax by cz2 S2 abc4R abc2R x y zabc2R ab bc caabc ，12Rab bc ca 12Ra2 b2 c2故不等式成立.
