1、12.3 平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.自学导引1.设 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，a1 a2 ann na1a2an 等号成立 a1 a2 an.2.设 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，na1a2ann1a1 1a2 1an 等号成立 a1 a2 an.3.设 a1， a2， an为正数，则 a1 a2 ann na1a2an ，等号成立 a1 a2 an.n1a1 1a2 1an 4.设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 x0 D，使得
2、 f(x) f(x0) (f(x) f(x0) x D，则称f(x0)为 f(x)在 D 上的最大(小)值， x0称为 f(x)在 D 上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.基础自测1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件和 2 件，现在选择商店中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为( ) A.20，23 B.19，25C.21，23 D.19，24解析 最多为 53422125，最少为 51422319，应选 B.答案 B2.若 f(x) 且 x(0，1，则 f(x)的最小值是( )x3 3x2A.2 B
3、.不存在C. D.103 316解析 x(0，1，即 x0.f(x) 2 2.x3 3x 1等号成立的条件是 ，即 x (0，1，x3 3x 3所以利用均值不等式，等号不成立，不能求 f(x)的最小值.令 t，则 ， t ，x3 3x 1t (0， 13原函数变为 y t ，1t y t 在(0，1上是减函数，则在 上也是减函数， t 时， ymin 3 .1t (0， 13 13 13 103答案 C3.函数 y (x 1，0 y 3，1x 1x 13x 1x 1故值域为3，0).答案 3，0)知识点 1 利用柯西不等式求函数的最值【例 1】 若 3x4 y2，试求 x2 y2的最小值及最小
4、值点.解 由柯西不等式，得：(x2 y2)(324 2)(3 x4 y)24.所以 25(x2 y2)4，即 x2 y2 .425当且仅当 时，等号成立，x3 y43 ，解得 .4x 3y3x 4y 2) x 625y 825)所以 x2 y2的最小值为 ，最小值点为 .425 (625， 825)反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例 1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后 n 个项的平方和为常数.1.设 a， b， c 为正数， a b4 c21，求 c 的最大值.a b 2解 由
5、柯西不等式得：( c)2a b 2 (a1 b1 2c12)2 ( )2( )2(2 c)2 ，a b 12 12 (12)2 即( c)21 .a b 2 (1 112) 52当且仅当 时，a1 b1 2c12即 a b8 c2时取等号.20 c21， c ， a b 时，125 510 25 c 的最大值为 .a b 2102知识点 2 利用平均值不等式求函数的最值【例 2】 (1)已知 x0， y0，且 x y2，求 x2 y2的最小值.解 (1) x0，54 y4 x214x 5 3231.(5 4x15 4x)当且仅当 54 x ，即 x1 时，上式等号成立.15 4x4故当 x1
6、时， ymax1.(2)y x2 1x2 4 x2 1（ x2 1） 3 1x2 1 3x2 1 .123 36当且仅当 ，x2 13x2 1即 x22， x 时， ymax .236(3)方法一：由 x2 y22 xy，得 2(x2 y2)( x y)2，即 x2 y2 .（ x y） 22因为 x y2，所以 x2 y22.当且仅当 x y1 时，取得最小值 2.方法二：由柯西不等式，得：(x2 y2)(121 2)( x y)2. x2 y2 (x y)2 42.12 12当且仅当 ，即 x y 时取等号.x1 y1 x y1 时，( x2 y2)min2.反思感悟：利用平均值不等式求最
7、值关键在变形上，变形的目的是能得到积为定值或和为定值，求最值时一定要找出最大(小)值点，如果最大(小)值点不存在，则不能用平均值不等式求最值，可考虑用函数的单调性或用其它方程. 2.求函数 y (x0)的最小值.x2 2x 6x 1解 y ( x1) 4（ x 1） 2 4（ x 1） 9x 1 9x 12 42.（ x 1） 9x 1当且仅当 x1 ，即 x2 时，等号成立.所以 ymin2.9x 1知识点 3 平均值不等式在实际中的应用【例 3】 从半径为 2 的圆板上剪下一个圆心角为 的扇形，围成一个圆锥的侧面(如下图)，如何操作使圆锥体积最大(即求出相应的 角).5解 如题图，圆锥的母
8、线长为 2，设圆锥轴截面的底角为 .(00).(x4x) x 2 4，当且仅当 x ，4x x4x 4x即 x2 时取等号， y 最小 48032041 760(元)答案 1 7606课堂小结柯西不等式有代数式、向量式和三角式三种形式，代数式又有二维形式、三维形式和一般式，都要熟练掌握.柯西不等式和均值不等式的主要应用是求函数的最值和证明不等式，有些函数的最值既可以用柯西不等式来求又可以用平均值不等式来求.随堂演练1.求函数 y ， x0 的最小值.x2 5x 15x 2解 y ( x2) 1（ x 2） 2 x 2 9x 2 9x 22 17，当且仅当 x2 ，99x 2即 x23， x1
9、时取等号. x1 时， ymin7.2.求函数 y29 x (x0)的最大值.4x解 y2 22 21210，(9x4x) 94当且仅当 9x ，即 x 时取等号.4x 23 x 时， ymax10.233.若 2x3 y1，求 x2 y2的最小值，及最小值点.解 由柯西不等式，得(x2 y2)(223 2)(2 x3 y)21. x2 y2 ，当且仅当 ，即 3x2 y 时取等号.113 x2 y3由 得3x 2y，2x 3y 1， ) x 213，y 313.)所以当 时，( x2 y2)min ，x 213y 313) 113最小值点为 .(213， 313)基础达标1.下列各式中，最小
10、值等于 2 的是( )7A. B.xy yx x2 5x2 4C.tan cot D.2x2 x解析 A 中 可以为负，则 也可以为负数，不合题意.xy xy yxB 中 ， 2， 0，也不合题意.C 中 tan cot x2 4 1x2 4 x2 4 1x2 4 x2 4 1x2 4 可为负值不合题意.D 中 2x2 x2 x 2.当且仅当 x0 时取等号符合题意，故选 D.12x答案 D2.函数 y (x0)的最大值为( )x2 4x 1x2 x 1A.1 B.2C.3 D.4解析 y 1 1 .x2 4x 1x2 x 1 3xx2 x 1 31 (x 1x) x0 时， x 2， yma
11、x1 2.1x 31 2答案 B3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 x y z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a， b， c，且 a b c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.ax by cz B.az by cxC.ay bz cx D.ay bx cz解析 方法一：用特值法进行验证.令 x1， y2， z3， a1， b2， c3.A 项： ax by cz14914；B 项： az by cx34310；C 项： ay bz cx2631
12、1；D 项： ay bx cz22913.故选 B.方法二：由顺序和乱序和反序和.可得 az by cx 最小.答案 B84.已知不等式( x y) 9 对任意正实数 x、 y 恒成立，则正实数 a 的最小值为(1x ay)_.解析 ( x y) 1 a 1 a2 ( 1) 2(当且仅当 时取等号).(1x ay) axy yx a a yx a( x y) 9 对任意正实数 x、 y 恒成立.(1x ay)需( 1) 29. a4.a答案 45.已知 ab1 000， a1， b1，则 的最大值是_.1 lg a 1 lg b解析 由柯西不等式得： 1 11 lga 1 lgb 1 lga
13、1 lgb 12 12 .2 lg（ ab） 2 2 3 2 10当且仅当 1lg a1lg b，即 a b10 时，取等号.10答案 106.已知三个正数 a， b， c 的和是 1，求证：这三个正数的倒数和不小于 9.证明 方法一：( a b c)(1a 1b 1c) 9.(a1a b1b c1c)2 又由已知， a b c1，所以 9.1a 1b 1c方法二：( a b c)(1a 1b 1c)3 ab ac ba bc ca cb3 (ab ba) (ac ca) (bc cb)32229.综合提高7.设 aR 且 a0，以下四个数中恒大于 1 的个数是( ) a31； a22 a2；
14、 a ； a2 .1a 1a2A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个解析 中当 a1 时， a310 不合题意；9中 a22 a2( a1) 21，当 a1 时， a22 a21 也不合题意；中当 a1 时， a 2 不合题意；1a中 a2 21.1a2答案 A8.若 a、 b、 c0 且 a(a b c) bc42 ，则 2a b c 的最小值为( )3A. 1 B. 13 3C.2 2 D.2 23 3解析 由 a(a b c) bc42 ，得( a b)(a c)42 ，得( a b)(a c)42 .3 3 3 a、 b、 c0，( a b)(a c) (当且仅当 a c b a
15、，即 b c 时取“”).(2a b c2 )2 2 a b c2 2( 1)2 2.4 23 3 3答案 D9.若直角三角形 ABC 的斜边长 c1，那么它的内切圆半径 r 的最大值为_.解析 设直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a， b，因斜边 c1，则直角三角形内切圆半径r (a b1) .12 a b2 12由题意知 a2 b21，由柯西不等式a1 b1 .a2 b2 12 12 2当且仅当 a b 时取等号，又 a2 b21， a b 时， a b 的最大值为 ，22 2 rmax .22 12 2 12答案 2 1210.在 ABC 中，三边 a、 b、 c 的对角分别为 A、
16、 B、 C，若 2b a c，则角 B 的范围是_.解析 2 b a c， ba c2cos B a2 c2 b22ac a2 c2 (a c2 )2 2ac .3a2 3c2 2ac8ac 6ac 2ac8ac 1210 ycos x 在(0，)上是减函数.00， 0，(1x10)(1a x10) x10 1a x10 z a ，(1 x10) (1a x10)2 2 （ a 1） 24a11当且仅当 1 ，x10 1a x10即 x 时，等号成立，5（ 1 a）a a (0，10， xmax .13， 1) 5（ 1 a）a 5（ 1 a）a(2)当 y x 时， z (10 x) .23 1100 (10 23x)要有所增加，只要 z1，即 (10 x) 1.1100 (10 23x) x25 x0，0 x5.
