1、14.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用【选题明细表】 知识点、方法 题号两圆位置关系的判断 1,2两圆相交问题 6,8,10两圆相切问题 3,4,7综合应用问题 5,9,11,121.(2018陕西西安高一期末)两圆 x2+y2=9 和 x2+y2-8x+6y+9=0 的位置关系是( B )(A)相离 (B)相交(C)内切 (D)外切解析:把 x2+y2-8x+6y+9=0 化为(x-4) 2+(y+3)2=16,又 x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为 R=4 和 r=3,则两圆心之间的距离 d= =5,因为 4-354+3 即
2、 R-rdR+r,所以两圆的位置关系是相交.2.(2018辽宁大连期末)已知圆 C1:x2+y2-2 x-4y+6=0 和圆 C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为( B )(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D)外切解析:两圆的标准方程为(x- )2+(y-2)2=1,x2+(y-3)2=9,圆心坐标分别为 C1( ,2),C2(0,3),半径分别为 r1=1,r2=3,则|C 1C2|= = = =2=3-1=r2-r1,即两圆相内切,故选 B.3.两圆(x-a) 2+(y-b)2=c2和(x-b) 2+(y-a)2=c2相切,则( B )(A)(a-b)2=c2 (B)(a-b
3、)2=2c2(C)(a+b)2=c2 (D)(a+b)2=2c2解析:两圆半径相等,故两圆外切,圆心距 d= = |b-a|=2|c|,所以(b-a) 2=2c2,即(a-b) 2=2c2,故选 B.4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1 内切,则此圆的方程为( D )(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x4)2+(y-6)2=6(C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x4)2+(y-6)2=36解析:由题意知,半径为 6 的圆与 x 轴相切,且圆心在 x 轴上方.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则 b=6,再由 =5,可以解得 a=4,2故所求圆
4、的方程为(x4) 2+(y-6)2=36.故选 D.5.(2018浙江台州检测)台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区 ,城市 B 在 A 地正东 40 km 处,则城市 B 处于危险区内的时间为( B )(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h解析:如图,以 A 地为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则以 B(40,0)为圆心,30 为半径的圆内 MN 之间(含端点)为危险区,取 MN 的中点 E,连接 BE,BN,BM,则BEMN,BN=BM,ABE 为等腰直角三角形,因为 AB=40 km
5、,所以 BE=20 km,在 RtBEN 中,NE= =10(km),则|MN|=20(km),所以时间为 1 h.故选 B.6.(2018郑州一中高一测试)圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0 与圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0 的公共弦的弦长为 . 解析:两圆相交弦所在的直线方程为 3x-4y+6=0,圆 x2+y2+2x-6y+1=0 的圆心到直线 3x-4y+6=0 的距离 d= = ,所以弦长为 2 =2 = .答案:7.求过点 A(4,-1),且与圆 C:(x+1)2+(y-3)2=5 相切于点 B(1,2)的圆的方程.解:设所求圆的圆心 M(a,b),半径为 r,已
6、知圆 C 的圆心为 C(-1,3),因为切点 B 在连心线上,即 C,B,M 三点共线,所以 = ,即 a+2b-5=0.直线 AB 的方程为 = ,即 x+y-3=0,所以 AB 的垂直平分线为 x-y-2=0,圆心 M 在 AB 的垂直平分线上,所以 a-b-2=0.联立解得故圆心坐标为 M(3,1),r=|MB|= ,所以所求圆的方程为(x-3) 2+(y-1)2=5.8.已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y-24=0 相交于两点.(1)求公共弦 AB 所在的直线方程;3(2)求圆心在直线 AB 上,且经过 A,B 两点的圆的方程;(3)求经
7、过 A,B 两点且面积最小的圆的方程.解:(1)圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y-24=0 的公共弦所在直线方程为x2+y2+2x+2y-8-(x2+y2-2x+10y-24)=0,即 x-2y+4=0.(2)由解得 或所以 A,B 两点的坐标分别为(-4,0),(0,2),中点坐标为(-2,1),则|AB|= =2 ,故所求圆的圆心为(-2,1),半径为 ,所以圆的方程为(x+2) 2+(y-1)2=5,即 x2+y2+4x-2y=0.(3)经过 A,B 两点且面积最小的圆即为以 AB 为直径的圆,与(2)的圆是相同的.则所求圆的方程为 x2+y
8、2+4x-2y=0.9.(2018山东泰安模拟)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆C1,C2上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5 -4 (B) -1(C)6-2 (D)解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC 1|+|PC2|的最小值,作点 C1关于 x 轴的对称点C1(2,-3),则(|PC 1|+|PC2|)min=|C1C 2|=5 ,所以(|PM|+|PN|) min=5 -(1+3)=5 -4.10.已知圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2
9、 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 . 解析:圆 C 的标准方程为(x-4) 2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,即 2.整理,得 3k2-4k0.解得 0k .故 k 的最大值为 .答案:11.已知隧道的截面是半径长为 4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7 m,高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为 a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平
10、面直角坐标系,那么半圆的方程为 x2+y2=16(y0).将 x=2.7 代入,得y= = 3,4所以,在离中心线 2.7 m 处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.将 x=a 代入 x2+y2=16(y0),得 y= ,所以货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为 m.12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l上.(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.解:(1)
11、由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,由题意, =1,解得 k=0 或 k=- ,故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a) 2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 =2 ,化简得 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上,由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则 2-1CD2+1,即 1 3.5由 5a2-12a+80 得 aR;由 5a2-12a0,得 0a .所以圆 C 的横坐标 a 的取值范围为0, .
