1、14.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式【选题明细表】 知识点、方法 题号空间点的坐标 4,8,10空间两点间的距离 3,5,7,9,11,12点的对称及应用问题 1,2,61.(2018陕西西安莲湖区期末)在空间直角坐标系中,若 P(3,-2,1),则 P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( B )(A)(-3,-2,-1) (B)(3,2,1)(C)(-3,2,-1) (D)(3,-2,-1)解析:设所求的点为 Q(x,y,z),因为点 Q(x,y,z)与点 P(3,-2,1)关于平面 xOz 对称,所以 P,Q 两点的横坐标和竖坐标相等,而纵
2、坐标互为相反数,即 x=3,y=2,z=1,得 Q 点坐标为(3,2,1)故选 B.2.空间两点 A,B 的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则 A,B 两点的位置关系是( B )(A)关于 x 轴对称 (B)关于 y 轴对称(C)关于 z 轴对称 (D)关于原点对称解析:A,B 两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故 A,B 两点关于 y 轴对称,故选 B.3.在空间直角坐标系中,已知三点 A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形 ABC 是( A )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形解析:由题|AB|= =
3、,|AC|= = ,|BC|= =1,所以 AC2=AB2+BC2,所以三角形 ABC 是直角三角形.4.在空间直角坐标系 Oxyz 中,对于点(0,m 2+2,m),一定有下列结论( C )(A)在 xOy 坐标平面内 (B)在 xOz 坐标平面内(C)在 yOz 坐标平面内 (D)以上都不对解析:若 m=0,点(0,2,0)在 y 轴上;若 m0,点的 x 坐标为零,y 坐标大于零,z 坐标不为 0,点(0,m2+2,m)在 yOz 坐标平面内.综上所述,点(0,m 2+2,m)一定在 yOz 坐标平面内.5.(2018辽宁省实验中学分校高二上期末)已知空间中两点 A(1,2,3),B(4
4、,2,a),且|AB|=,则 a 的值为( D )2(A)2 (B)4(C)0 (D)2 或 4解析:由空间两点间的距离公式得|AB|= = ,即 9+a2-6a+9=10,所以 a2-6a+8=0,所以 a=2 或 a=4.选 D.6.在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在 xOz 平面上的射影为 M点,则 M点关于原点的对称点的坐标是 . 解析:点 M(-2,4,-3)在平面 xOz 上的射影 M(-2,0,-3),M关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)7.(2018四川内江月考)在ABC 中,若 A(-1,2,3),B(2,-2,3),C( , ,3),则
5、 AB 边的中点D 到点 C 的距离为 . 解析:由题意得 D( ,0,3),所以|DC|= = .答案:8.(2018江西九江检测)如图所示,已知正四面体 A BCD 的棱长为 1,点 E,F 分别为棱 AB,CD的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点 A,B,C,D 的坐标;(2)证明:BEF 为直角三角形.(1)解:如图,设底面等边三角形 BCD 的中心为点 O,连接 AO,DO,延长 DO 交 BC 于点 M,则 AO平面 BCD,点 M 是 BC 的中点,且 DMBC,过点 O 作 ONBC,交 CD 于点 N,则 ONDM,故以 O 为坐标原点,OM,ON,OA 所在的直
6、线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正四面体 A-BCD 的棱长为 1,点 O 为底面BCD 的中心,所以|OD|= |DM|= = ,3|OM|= |DM|= .|OA|= = = ,|BM|=|CM|= ,所以 A(0,0, ),B( ,- ,0),C( , ,0),D(- ,0,0).(2)证明:由(1)及中点坐标公式,得E( ,- , ),F(- , ,0),所以|EF|= = ,|BE|= = ,|BF|= = .所以|BE| 2+|EF|2=|BF|2,故BEF 为直角三角形.9.已知点 A(1,2,2),B(1,-3,1),点 C 在 yOz 平面上
7、,且点 C 到点 A,B 的距离相等,则点 C 的坐标可以为( C )(A)(0,1,-1) (B)(0,-1,6)(C)(0,1,-6) (D)(0,1,6)解析:由题意设点 C 的坐标为(0,y,z),所以 = ,即(y-2) 2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2.经检验知,只有选项 C 满足.10.已知平行四边形 ABCD,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点 D 的坐标为 .解析:由平行四边形对角线互相平分知,AC 的中点即为 BD 的中点,AC 的中点 M( ,4,-1),设 D(x,y,z),则 = ,4= ,-1= ,所以 x=5,y=13
8、,z=-3,所以 D(5,13,-3).4答案:(5,13,-3)11.如图建立空间直角坐标系,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 P 是正方体对角线D1B 的中点,点 Q 在棱 CC1上.(1)当 2|C1Q|=|QC|时,求|PQ|;(2)当点 Q 在棱 CC1上移动时,探究|PQ|的最小值.解:据题意,知 B(1,1,0),D1(0,0,1),故 BD1的中点 P( , , ).由于点 Q 在 CC1上,故 Q 点坐标可设为(0,1,a)(0a1).(1)由 2|C1Q|=|QC|,易知|QC|= ,故 Q(0,1, ).从而|PQ|= = .(2)据题意,知|PQ|
9、= = (0a1).当 a= 时,(a- )2+ 取得最小值.从而|PQ| min= ,此时 Q(0,1, ).12.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3).(1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|?(2)在 y 轴上是否存在点 M,使MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标.解:(1)假设在 y 轴上存在点 M,满足|MA|=|MB|,设 M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得 = ,显然,此式对任意 yR 恒成立.这就是说,y 轴上所有点都满足|MA|=|MB|.(2)假设在 y 轴上存在点 M(0,y,0),使MAB 为等边三角形.由(1)可知,对 y 轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得MAB 是等边三角形.因为|MA|= = ,|AB|= = ,5于是 = ,解得 y= ,故在 y 轴上存在点 M,使MAB 为等边三角形,点 M 的坐标为(0, ,0)或(0,- ,0).
