1、1模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.若 abc,则 的值( )1- 1-A.大于 0B.小于 0C.小于或等于 0D.大于或等于 0解析 因为 abc,所以 a-cb-c0.所以 ,所以 0,故选 A.1-2解析 令 f(x)=|x+3|+|x-2|= 则 f(x)的图象如图,由图可知, f(x)0,y0,z0),则 P与 3的大小关系是( )1+ 1+ 1+A.P3 B.P3解析 因为 1+x0,1+y0,1+z0,所以 =3,即 Pa的解集为 M,且 2M,则 a的取值范围为 ( )|-1 |A. B.(14,
2、+) 14,+)C. D.(0,12) (0,12解析 由已知 2M,可得 2 RM,于是有 a,即 -a a,解得 a ,故应选 B.|2-12 | 2-12 14答案 B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第 n层楼,上、下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第 n层楼时,环境不满意程度为 ,则此人应选( )9A.1楼 B.2楼C.3楼 D.4楼解析 设第 n层总的不满意程度为 f(n),则 f(n)=n+ 2 =23=6,当且仅当 n= ,即 n=3时等号成9 9 9立 .答案
3、C6.若关于 x的不等式 |x-1|+|x-3| a2-2a-1在 R上的解集为,则实数 a的取值范围是( )A.a3B.a3C.-10,b0, 若 A,B,C三点共线,则 的最小值为 ( )1+2A.4 B.6 C.8 D.9解析 =(a-1,1), =(-b-1,2), A ,B,C三点共线, 2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得 2a+b=1.又 a0,b0,则 =(2a+b) =4+ 4 +2 =8,当且仅当 b=2a= 时,等号成立 .1+2 (1+2) +4 4 12故选 C.4答案 C10.用反证法证明“ ABC的三边长 a,b,c的倒数成等差数列,求证 By,求证 2x+
4、2 y+3.12-2+2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y=2(x-y)+12-2+2 1(-)2=(x-y)+(x-y)+1(-)23 =33(-)2 1(-)2 ( 当且仅当 -=,1-时,等号成立 )所以 2x+ 2 y+3.12-2+218.(本小题满分 12分)已知 m1,且关于 x的不等式 m-|x-2|1 的解集为0,4 .(1)求 m的值;(2)若 a,b均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2的最小值 .解 (1)m 1,不等式 m-|x-2|1 可化为 |x-2| m-1, 1-m x-2 m-1,即 3-m x m+1. 其解集为0,4, 解得
5、m=3.3-=0,+1=4,6(2)由(1)知 a+b=3.(方法一:利用基本不等式) (a+b)2=a2+b2+2ab( a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a 2+b2 ,92(当且仅当 =32时,等号成立 )a 2+b2的最小值为 .92(方法二:利用柯西不等式) (a2+b2)(12+12)( a1+b1)2=(a+b)2=9,a 2+b2 ,92(当且仅当 =32时,等号成立 )a 2+b2的最小值为 .92(方法三:消元法求二次函数的最值)a+b= 3,b= 3-a.a 2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2 ,(-32)2+9292a 2+b2的最小值为
6、.9219.(本小题满分 12分)用数学归纳法证明: n!(n1,nN +).(n!=n(n-1)21)(+12 )证明 (1)当 n=2时, 2!=2,不等式成立 .(2+12 )2=(32)2=94(2)假设当 n=k(k2)时不等式成立,即 k!.(+12 )当 n=k+1时, (+1)+12 +1=(+12 +12)+1= + (k+1)0+1(+12 )+1+1+1(+12 )12 +1+1(12)+1(+12 )+1+12 (+12 )=(k+1) (k+1)k!=(k+1)!,(+12 )所以当 n=k+1时不等式成立 .由(1)(2)可知,对 n1的一切自然数,不等式成立 .2
7、0.(本小题满分 12分)已知 x+y0,且 xy0 .(1)求证: x3+y3 x2y+y2x;7(2)如果 恒成立,试求实数 m的取值范围 .2+22(1+1)(1)证明 因为 x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且 x+y0,(x-y)20,所以 x3+y3-(x2y+y2x)0,故 x3+y3 x2y+y2x.(2)解 若 xy-6. 若 xy0,则 等价于 .2+22(1+1) 23+3(+)=2-+2因为 =1,即 1(当且仅当 x=y时,等号成立),故 m2 .2-+2 2- 3+3(+)综上所述,实数 m的取值范围是( -6,2.21. 导学号 26394075(本小题满分 12分)设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式 f(x)2;(2)当 xR,0 0,=2m-10,12+42+92m 5,即实数 m的取值范围是5, + ).
