1、1模块综合试卷(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1在复平面内，复数 z (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )2i1 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 共轭复数的定义与应用题点 共轭复数与点的对应答案 D解析 z 1i，2i1 i 2i1 i1 i1 i 1i， 在复平面内对应的点位于第四象限z z2曲线 ysin xe x(其中 e2.718 28是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( )A2 B3C. D.13 12考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切线的斜率答案
2、 A解析 ycos xe x， k y| x0 cos 0e 02，故选 A.3观察下列等式：9011,91211,92321,93431，.猜想第 n(nN *)个等式应为( )A9( n1) n10 n9B9( n1) n10 n9C9 n( n1)10 n1D9( n1)( n1)10 n10考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析 注意观察每一个等式与 n的关系，易知选项 B正确24 |sin x|dx等于( )20A0 B1C2 D4考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 D解析 |sin x|dx sin xdx (sin x)dx20 0 2c
3、os x| cos x| 11114.0 25已知在正三角形 ABC中，若 D是 BC边的中点， G是三角形 ABC的重心，则 2.若把该AGGD结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体 ABCD中，若三角形 BCD的重心为 M，四面体内部一点 O到四面体各面的距离都相等，则 等于( )AOOMA1 B2C3 D4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 C解析 由题意知， O为正四面体的外接球和内切球的球心设正四面体的高为 h，由等体积法可求得内切球的半径为 h，外接球的半径为 h，所以 3.14 34 AOOM6函数 f(x)3 x4 x3(x0,1)的最大值是( )A
4、. B112C0 D1考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 D解析 由 f( x)312 x23(12 x)(12 x)0，解得 x ，12 0,1(舍去)12当 x 时， f( x)0，(0，12)当 x 时， f( x)0)1x若函数 f(x) ax2ln x的图象上存在垂直于 y轴的切线，则 2ax 0 存在大于 0的实数根，1x即 a 0)， l72 .(x16x) (1 16x2)令 l0，解得 x4 或 x4(舍去)当 04时， l0.故当 x4 时， l有最小值 816.因此，当箱底是边长为 4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为 816元故
5、选 D.10已知定义在 R上的奇函数 f(x)，设其导数为 f( x)，当 x(，0时，恒有 xf( x)F(2x1)的实数 x的取值范围为( )A(1,2) B.( 1，12)C. D(2,1)(12， 2)考点 利用导数研究函数的单调性题点 已知函数值大小求未知数答案 A解析 f(x)是奇函数，不等式 xf( x)0时，为增函数，即不等式 F(3)F(2x1)等价于 F(3)F(|2x1|)，|2 x1|0， f(x)在 x1 处取到极小值故选 C.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)13设 z(2i) 2(i为虚数单位)，则复数 z的模为_考点 复数的模的定义与应用题
6、点 利用定义求复数的模答案 5解析 z(2i) 234i，所以| z|34i| 5.32 4214已知不等式 1 5，求证： 0， nN *.an2 1an(1)求 a1， a2， a3；(2)猜想 an的通项公式，并用数学归纳法证明考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1) a1 S1 1，所以 a11 .a12 1a1 3又因为 an0，所以 a1 1.3S2 a1 a2 1，a22 1a2所以 a2 .5 3S3 a1 a2 a3 1，a32 1a3所以 a3 .7 5(2)由(1)猜想 an ， nN *.2n 1 2n 1下面用数学归纳法加以证明：当
7、n1 时，由(1)知 a1 1 成立3假设当 n k(kN *)时，ak 成立2k 1 2k 1当 n k1 时， ak1 Sk1 Sk (ak 12 1ak 1 1) (ak2 1ak 1) ，ak 12 1ak 1 2k 1所以 a 2 ak1 20，2k 1 2k 1所以 ak1 ，2k 1 1 2k 1 1即当 n k1 时猜想也成立9综上可知，猜想对一切 nN *都成立21(12 分)已知函数 f(x) ax3 cx d(a0)是 R上的奇函数，当 x1 时， f(x)取得极值2.(1)求 f(x)的单调区间和极大值；(2)证明对任意 x1， x2(1,1)，不等式| f(x1) f
8、(x2)|0，故 f(x)在区间(，1)上是增函数；当 x(1,1)时， f( x)0，故 f(x)在(1，)上是增函数 f(x)在 x1 处取得极大值，极大值为 f(1)2.(2)证明 由(1)知， f(x) x33 x(x1,1)是减函数，且 f(x)在1,1上的最大值 M f(1)2，f(x)在1,1上的最小值 m f(1)2.对任意的 x1， x2(1,1)，恒有| f(x1) f(x2)|0， f(0) f(1)0， f( x)在区间0,1上单调递增， f( x)在区间0,1上存在唯一零点， f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)解 由 f(x) x2( a3) x1，52得 ex2 x23 x x2( a3) x1，52即 axe x x21，12 x ， a .12 ex 12x2 1x令 g(x) ，ex 12x2 1x则 g( x) .exx 1 12x2 1x2令 (x)e x(x1) x21，则 ( x) x(ex1)12 x ， ( x)0.12 (x)在 上单调递增12， ) (x) 0.(12) 78 12e因此 g( x)0，故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 2 ， (12) 18 112 e 94 a的取值范围是 .( ， 2e94
