1、1第 2 课时 两个计数原理的综合应用学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数知识点一 两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理 分步乘法计数原理相同点 用来计算完成一件事的方法种类分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘不同点 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整知识点二 两个计数原理的应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确
2、分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步” ，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一2个合理的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想类型一 组数问题例 1 用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三
3、位数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 5555 3125(种)(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100(种)(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4312(种)排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有
4、 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从 1,3中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，把 1,2,3,4 中除去用过的一个剩下的 3 个中任取一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理知共有 233236(个)反思与感悟 对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明
5、确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练 1 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其3中奇数的个数为( )A24 B18 C12 D6考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用答案 B解析 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种情况)，之后十位(2 种情
6、况)，最后百位(2 种情况)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3 种情况)，十位(2 种情况)，百位(不能是 0，一种情况)，共 6 种，因此总共有 12618(种)情况故选 B.类型二 选(抽)取与分配问题例 2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A16 种 B18 种 C37 种 D48 种考点 抽取(分配)问题题点 抽取(分配)问题答案 C解析 方法一 (直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有 1 种情况；第二类，有两个班级去甲工
7、厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有 339(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有 33327(种)综上所述，不同的分配方案有 192737(种)方法二 (间接法)先计算 3 个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即44433337(种)方案反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件，计算
8、所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练 2 3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？考点 抽取(分配)问题4题点 抽取(分配)问题解 (以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有 5 种选择；第二步：放第二个小球有 4 种选择；第三步：放第三个小球有 3 种选择，由分步乘法计数原理得，总方法数 N54360.类型三 涂色与种植问题例 3 (1)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_种.考点 种植问题题点 种植问题答案 42解析 分别
9、用 a， b， c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安排第二块田，有两种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或 c.(1)若第三块田放 c：a b c第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224(种)方法(2)若第三块田放 a：a b a第四块有 b 或 c 两种方法，若第四块放 c：a b a c第五块有 2 种方法；若第四块放 b：a b a b第五块只能种作物 c，共 1 种方法综上，共有 32(2221)42(种)方法(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种5颜色，相邻两格涂不同
10、的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1 23 4考点 涂色问题题点 涂色问题解 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4312(种)不同的涂法，第 4 个小方格有3 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 5123180(种)不同的涂法当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得共有 18080260(种)不同的涂法引申探究本例(2)中的区
11、域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解 依题意，可分两类情况：不同色；同色第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成 4 步来完成第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法；第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法；第三步涂与第四步涂时，分别有 3 种涂法和 2 种涂法于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为 5432120(种)第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成第一步涂，有 5 种涂法；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有 54360(种)综上可知，所求的涂色方法
12、共有 12060180(种)反思与感悟 解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题6种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数跟踪训练 3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为_考点 涂色问题题点 涂色问题答案
13、 420解析 按照 S A B C D 的顺序进行染色，按照 A， C 是否同色分类：第一类， A， C 同色，则有 54313180(种)不同的染色方法第二类， A， C 不同色，则有 54322240(种)不同的染色方法根据分类加法计数原理，共有 180240420(种)不同的染色方法1有 A， B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作 A 种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( )A6 种 B5 种 C4 种 D3 种考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 C解析 不同的选派情况可分为 3
14、类：若选甲、乙，有 2 种方法；若选甲、丙，有 1 种方法；若选乙、丙，有 1 种方法根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有 2114(种)2用 0,1，9 这 10 个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D648考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用答案 B解析 0,1,2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有7998648(个)，所以有重复数字的三位数有 900648252(个)3某班有 3 名学生准备参加校运会的 100 米、200 米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报 1 人，则这 3 名学生的
15、参赛的不同方法有( )A24 种 B48 种C64 种 D81 种考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 A解析 由于每班每项限报 1 人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有 43224(种)不同的参赛方法4火车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的可能方式有( )A5 10种 B10 5种C50 种 D500 种考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 A解析 分 10 步第 1 步：考虑第 1 名乘客下车的所有可能有 5 种；第 2 步：考虑第 2 名乘客下车的所有可能有 5 种；第 10 步：考虑第 10 名
16、乘客下车的所有可能有 5 种故共有乘客下车的可能方式105个5 10(种)5如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种.A BCD考点 涂色问题题点 涂色问题答案 108解析 A 有 4 种涂法， B 有 3 种涂法， C 有 3 种涂法， D 有 3 种涂法，共有4333108(种)涂法81分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件
17、必须经过的若干彼此独立的步骤3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些一、选择题1在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的有( )A512 个 B192 个 C240 个 D108 个考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用答案 D解析 能被 5 整除的四位数，可分为两类：一类是末位为 0，由分步乘法计数原理，共有 54360(个)二类是末位为 5，由分步乘法计数原理共有 44348(个)由分类加法计数原理得 6048108(个)2有四位教师
18、在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A8 种 B9 种 C10 种 D11 种考点 抽取(分配)问题题点 抽取(分配)问题答案 B解析 设四位监考教师分别为 A， B， C， D，所教班分别为 a， b， c， d.若 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法同理，若 A 监考 c， d 时，也分别有 3 种不同方法由分类加法计数原理，得监考方法共有 3339(种)3某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )A98765432B89 6C910 6D8.110 69考点
19、两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用答案 D解析 电话号码是六位数字时，该城市可安装电话 9105部，同理升为七位时为9106，可增加的电话数是 9106910 58110 5.故选 D.4若三角形三边均为正整数，其中一边长为 4，另外两边长分别为 b， c，且满足b4 c，则这样的三角形有( )A10 个 B14 个 C15 个 D21 个考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 A解析 当 b1 时， c4，当 b2 时， c4,5；当 b3 时， c4,5,6；当 b4 时，c4,5,6,7.故共有 10 个这样的三角形105.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回
20、路，其中共有 6 个焊接点 A， B， C， D， E， F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A6 种 B36 种 C63 种 D64 种考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 C解析 每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163(种)可能情况6从颜色分别为黄、白、红、橙的 4 盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的 3 盆山茶花中任取 3 盆，其中至少有菊花、山茶花各 1 盆，则不同的选法种数为( )A12 B18 C24 D30考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理
21、的简单综合应用答案 D解析 选出符合要求的 3 盆花可分为两类：第一类，可从 4 盆菊花中选 1 盆，再从 3 盆山茶花中选 2 盆，有 4312(种)选法；第二类，可从 4 盆菊花中选 2 盆，再从 3 盆山茶花中选 1 盆，有 6318(种)选法根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为 121830.7在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱所有对角线的条数为( )A20 B15 C12 D10考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 D解析 由题意知，正五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因
22、为不同在任何侧面内，所以从一个顶点出发的对角线有 2 条，所以正五棱柱所有对角线的条数为 2510.8.如图，用五种不同的颜色分别给 A， B， C， D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为( )11A280 B180C96 D60考点 涂色问题题点 涂色问题答案 B解析 按区域分四步：第一步 A 区域有 5 种颜色可选；第二步 B 区域有 4 种颜色可选；第三步 C 区域有 3 种颜色可选；第四步由于可重复使用区域 A 中已有过的颜色，故也有 3 种颜色可选用由分步乘法计数原理，共有 5433180(种)涂法二、填空题9在所有的两位数中，个位数
23、字大于十位数字的两位数，共有_个考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用答案 36解析 根据题意个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 共 8 种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 1234567836(个)10某班将元旦联欢会原定的 9 个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 110解析 先将其中一个节目插入原节目单的 9 个节目形成
24、的 10 个空中，有 10 种方法；再把另一个节目插入前 10 个节目形成的 11 个空中，有 11 种插法由分步乘法计数原理知有1011110(种)不同的插法11古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_组考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 60解析 分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有 5630(组)不同的结果第二类也有 30 组不同的结果，共可得303060(
25、组)12三、解答题12有一项活动，需在 3 名教师，8 名男同学和 5 名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 (1)有三类选人的方法：3 名教师中选一人，有 3 种方法；8 名男同学中选一人，有 8 种方法；5 名女同学中选一人，有 5 种方法由分类加法计数原理知，共有 38516(种)选法(2)分三步选人：第一步选教师，有 3 种方法；第二步选男同学，有 8 种方法；第三步选女同学，有 5 种方法由分
26、步乘法计数原理知，共有 385120(种)选法(3)可分两类，每一类又分两步第一类：选一名教师再选一名男同学，有 3824(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有 3515(种)选法由分类加法计数原理可知，共有 241539(种)选法13将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数(1)可以排出多少个不同的三位数？(2)各位数字互不相同的三位数有多少个？(3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？考点 两个计数原理的应用题点 两个原理在排数中的应用解 (1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位根据分步乘法计数原理知，可以排出 666216(个)不同的三位数(2)分三步进
27、行：先排百位，再排十位，最后排个位百位上数字的排法有 6 种，十位上数字的排法有 5 种，个位上数字的排法有 4 种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有 654120(个)(3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有 6530(个)，故满足条件的三位数共有 33090(个)四、探究与拓展14从集合1,2,3,4,5中任取 2 个不同的数，作为直线 Ax By0 的系数，则形成不同的直线最多有( )A18 条 B20 条 C25 条 D10 条考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用13答案 A解析 第一步取 A 的
28、值，有 5 种取法，第二步取 B 的值有 4 种取法，其中当 A1， B2 时，与 A2， B4 时是相同的；当 A2， B1 时，与 A4， B2 时是相同的，故共有54218(条)15用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在，四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若 n6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有 120 种不同的方法，求 n 的值考点 涂色问题题点 涂色问题解 完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为，这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数(1)为区域着色时有 6 种方法，为区域着色时有 5 种方法，为区域着色时有 4 种方法，为区域着色时有 4 种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6544480(种)(2)由题意知，为区域着色时有 n 种方法，为区域着色时有( n1)种方法，为区域着色时有( n2)种方法，为区域着色时有( n3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为 n(n1)( n2)( n3) n(n1)( n2)( n3)120，( n23 n)(n23 n2)1200，即( n23 n)22( n23 n)1200. n23 n100 或 n23 n120(舍去) n5(负值舍去)
