1、1第 1 课时 排列与排列数公式学习目标 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题知识点一 排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出 2 人参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动思考 让你安排这项活动需要分几步？答案 分两步第 1 步确定上午的同学；第 2 步确定下午的同学梳理 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列知识点二 排列数及排列数公式思考 从 1,2,3,4 这 4 个数字中选出 3 个能构成多少个无重复数字的 3 位数？答案
2、43224(个)梳理排列数定义从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数排列数表示法 Amn乘积式 A n(n1)( n2)( n m1)mn排列数公式 阶乘式A mnn！n m！性质 A n！，0！1n备注 n， mN *， m n21 a， b， c 与 b， a， c 是同一个排列( )2同一个排列中，同一个元素不能重复出现( )3在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化( )4从 4 个不同元素中任取 3 个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列( )类型一 排列的概念例 1 判断下列问题是否为排列问题：
3、(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班 40 名学生在假期相互通信考点 排列的概念题点 排列的判断解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A 给 B 写
4、信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练 1 判断下列问题是否为排列问题(1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排三位客人，又3有多少种方法？(2)从集合 M1,2，9中，任取两个元素作为 a， b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 1?x2a2 y2b2 x2a2 y2b2(3)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定
5、多少条直线？可确定多少条射线？考点 排列的概念题点 排列的判断解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题 “入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 ab， a， b 的大小关系一定；x2a2 y2b2在双曲线 1 中，不管 ab 还是 a13 可表示为( )AA BA CA DA10x 3 11x 3 10x 13 11x 3考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 B解析 从( x3)，( x4)，到( x13)共( x3)( x13)111(个)数，所以根据
6、排列数公式知( x3)( x4)( x5)( x12)( x13)A .11x 34从 5 本不同的书中选 2 本送给 2 名同学，每人 1 本，不同的送法种数为( )A5 B10 C15 D20考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题答案 D5解方程 A 140A .42x 1 3x考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式解 根据题意，原方程等价于Error!即Error!整理得 4x235 x690( x3， xN *)，解得 x3 .(x234N*， 舍 去 )1判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关这就说，在判
7、断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，7则是排列问题，否则不是排列问题2关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式 A n(n1)( n2)( n m1)适用 m 已知的排列数的计算以及排mn列数的方程和不等式在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可(2)排列数的第二个公式 A 用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在mnn！n m！具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“ n， mN *， m n”的运用一、选择题1A 9101112，则 m 等于( )m12A3 B4 C5 D6考点 排列数公式题点 利
8、用排列数公式计算答案 B2已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；从 a， b， c， d 中选出 3 个字母；从1,2,3,4,5 这五个数字中取出 2 个数字组成一个两位数其中是排列问题的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点 排列的概念题点 排列的判断答案 B解析 由排列的定义知是排列问题3与 A A 不相等的是( )310 7AA B81A C10A DA910 8 9 10考点 排列数公式题点 利用排列数公式证明答案 B解析 A A 10987！A 10A A ，81A 9A A ，故选 B.31
9、0 7 910 9 10 8 9 104甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A6 B4 C8 D10考点 排列的概念题点 列举所有排列8答案 B解析 列树状图如下：丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共 4 种5从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( )A6 个 B10 个 C12 个 D16 个考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题答案 C解析 不同结果有 A 4312(个)246下列各式中与排列数 A 相等的是( )mnA. B n(n1)( n2)( n m)n！n m 1！C. DA AnAmn
10、1n m 1 1nm 1n考点 排列数公式题点 利用排列数公式证明答案 D解析 A ，而 A A n ，mnn！n m！ 1nm 1n n 1！n m！ n！n m！A A A .1nm 1n mn7四张卡片上分别标有数字“2” “0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A6 B9 C12 D24考点 排列的概念题点 列举所有排列答案 B解析 这四位数列举为如下：1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，1 210,2 011,2 101,2 110，共 9 个二、填空题8从 a， b， c， d， e 五个元素中每次取出三个元素，可组成_个以 b 为
11、首的不同的排列，它们分别是_考点 排列的概念题点 列举所有排列9答案 12 bac， bad， bae， bca， bcd， bce， bda， bdc， bde， bea， bec， bed解析 画出树状图如下：可知共 12 个，它们分别是bac， bad， bae， bca， bcd， bce， bda， bdc， bde， bea， bec， bed.9若集合 P x|xA ， mN *，则集合 P 中共有_个元素m4考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 3解析 由题意知， m1,2,3,4，由 A A ，故集合 P 中共有 3 个元素34 410满足不等式 12 的 n 的最小
12、值为_A7nA5n考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式答案 10解析 12，得( n5)( n6)12，A7nA5nn！n 7！n！n 5！ n 5！n 7！解得 n9 或 n2(舍去)最小正整数 n 的值为 10.112017 北京车展期间，某调研机构准备从 5 人中选 3 人去调查 E1 馆、E3 馆、E4 馆的参观人数，不同的安排方法种数为_考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题答案 60解析 由题意可知，问题为从 5 个元素中选 3 个元素的排列问题，所以安排方法有54360(种)12由 1,4,5， x 四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字
13、10之和为 288，则 x_.考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题答案 2解析 当 x0 时，有 A 24(个)四位数，每个四位数的数字之和为 145 x，4故 24(145 x)288，解得 x2；当 x0 时，每个四位数的数字之和为 14510，而 288 不能被 10 整除，即 x0 不符合题意，综上可知， x2.三、解答题13一条铁路线原有 n 个车站，为了适应客运需要，新增加了 2 个车站，客运车票增加了58 种，问原有多少个车站？现有多少车站？考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题解 由题意可得 A A 58，2n 2 2n即( n2)( n1) n(n1)58，解得 n
14、14.所以原有车站 14 个，现有车站 16 个四、探究与拓展14若 SA A A A A ，则 S 的个位数字是( )1 2 3 4 100A8 B5 C3 D0考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 C解析 1！1,2！2,3！6,4！24,5！120，而6！65！，7！765！，100！1009965！，所以从 5！开始到100！，个位数字均为 0，所以 S 的个位数字为 3.15京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长 1 318 公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海 7 个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的 21 个车站，计算铁路部门要为这 21 个车站准备多少种不同的火车票？考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题11解 对于两个火车站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站因此，结果应为从 21 个不同元素中，每次取出 2 个不同元素的排列数 A 2120420(种)所以一共需要为这 21 个车站准备 420 种不同的火车票21
