1、1第 2 课时 排列的综合应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题知识点 排列及其应用1排列数公式A n(n1)( n2)( n m1)( n， mN *， m n) .mnn！n m！A n(n1)( n2)21 n！(叫做 n 的阶乘)另外，我们规定 0！1.n2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一 无限制条件的排列问题例 1 (1)有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有
2、多少种不同的送法？考点 排列的应用2题点 无限制条件的排列问题解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排列，所以共有 A 765210(种)不同的送法37(2)从 7 种不同的书中买 3 本书，这 3 本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有 777343(种)不同的送法反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“ n 个不同的元素中取出 m 个元素” 即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取跟踪训练 1 (
3、1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有 5 个不同的科研小课题，高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 A 54360(种)35(2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题由于每个兴趣小组都有 5 种不同的选择，且 3 个小组都选
4、择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有 555125(种)报名方法类型二 排队问题命 题 角 度 1 元 素 “相 邻 ”与 “不 相 邻 ”问 题例 2 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题解 (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有 A 种排法；3女生必须站在一起是女生的全排列，有 A 种排法；4全体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法2由分步乘法计数原
5、理知，共有 A A A 288(种)排队方法3 4 2(2)三个男生全排列有 A 种方法，把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排3列，有 A 种排法故有 A A 720(种)排队方法5 3 53(3)先安排女生，共有 A 种排法；男生在 4 个女生隔成的五个空中安排，共有 A 种排法，4 35故共有 A A 1 440(种)排法4 35(4)排好男生后让女生插空，共有 A A 144(种)排法3 4反思与感悟 处理元素“相邻” “不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法” ，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，
6、将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法” ，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素跟踪训练 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题解 (1)先排唱歌节目有 A 种排法，再排其他节目有 A 种排法，所以共有 A A 1 2 6 2 6440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目和 3
7、 个曲艺节目有 A 种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个排6唱歌节目，有 A 种插入方法，所以共有 A A 30 240(种)排法27 6 27(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目排列共 A 种排法，再将 3 个舞蹈4节目插入，共有 A 种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A 种排法，故所求排法35 2共有 A A A 2 880(种)排法4 35 2命 题 角 度 2 元 素 “在 ”与 “不 在 ”问 题例 3 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不能在两端；(2)甲、乙必须在两端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端考点
8、 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题解 (1)先考虑甲有 A 种方案，再考虑其余 5 人全排列，故 NA A 480(种)；14 14 5(2)先安排甲、乙有 A 种方案，再安排其余 4 人全排列，故 NA A 48(种)；2 2 4(3)方法一 甲在最左端的站法有 A 种，乙在最右端的站法有 A 种，且甲在最左端而乙在5 5最右端的站法有 A 种，共有 A 2A A 504(种)站法4 6 5 4方法二 以元素甲分类可分为两类： a.甲站最右端有 A 种， b.甲在中间 4 个位置之一，而5乙不在最右端有 A A A 种，故共有 A A A A 504(种)站法14 14 4 5 14
9、 14 44反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误跟踪训练 3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在
10、”问题解 6 门课总的排法是 A ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有 A 种排法；数学6 5排在最后一节，有 A 种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，5这种情况有 A 种排法因此符合条件的排法有 A 2A A 504(种)4 6 5 4命 题 角 度 3 排 列 中 的 定 序 问 题例 4 将 A， B， C， D， E 这 5 个字母排成一列，要求 A， B， C 在排列中的顺序为“A， B， C”或“ C， B， A”(可以不相邻)则有多少种不同的排列方法？考点 排列的应用题点 排列中的定序问题解 5 个不同元素中部分元素 A， B， C 的排列顺序已定
11、，这种问题有以下两种常用的解法方法一 (整体法)5 个元素无约束条件的全排列有 A 种，由于字母 A， B， C 的排列顺序为5“A， B， C”或“ C， B， A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“ A， B， C”或“ C， B， A”排列方式的排列有 240(种)A5A3方法二 (插空法)若字母 A， B， C 的排列顺序为“ A， B， C”，将字母 D， E 插入，这时形成的 4 个空中，分两类：第一类，若字母 D， E 相邻，则有 A A 种排法；14 2第二类，若字母 D， E 不相邻，则有 A 种排法24所以有 A A A 20(种)不同的排列方法14 2 24同理，若字母
12、A， B， C 的排列顺序为“ C， B， A”，也有 20 种不同的排列方法因此，满足条件的排列有 202040(种)反思与感悟 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有 m n 个元素排成一列，其中 m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将这5m n 个元素排成一列，有 A 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他 n 个元素的m n位置不动，把这 m 个元素交换顺序，有 A 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此m共有 种满足条件的不同排法Am nAm(2)插空法，即 m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这 m
13、 个元素，只有一种排法，然后把剩下的 n 个元素分类或分步插入由以上 m 个元素形成的空隙中跟踪训练 4 用 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数，若 1,3,5,7 的顺序一定，则有_个七位数符合条件考点 排列的应用题点 排列中的定序问题答案 210解析 若 1,3,5,7 的顺序不定，有 A 24(种)排法，故 1,3,5,7 的顺序一定的排法数只占4总排法数的 .124故有 A 210(个)七位数符合条件1247类型三 数字排列问题例 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3
14、)不大于 4 310 的四位偶数考点 排列的应用题点 数字的排列问题解 (1)第一步，排个位，有 A 种排法；13第二步，排十万位，有 A 种排法；14第三步，排其他位，有 A 种排法4故共有 A A A 288(个)六位奇数13144(2)方法一 (直接法)：十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排 0 时，有 A 个；5第二类，当个位不排 0 时，有 A A A 个14144故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个)5 14144方法二 (排除法)：0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万
15、位和 5 在个位的情况6故符合题意的六位数共有 A 2A A 504(个)6 5 4(3)分三种情况，具体如下：当千位上排 1,3 时，有 A A A 个121324当千位上排 2 时，有 A A 个1224当千位上排 4 时，形如 4 02,4 20 的各有 A 个；13形如 4 1的有 A A 个；1213形如 4 3的只有 4 310 和 4 302 这两个数故共有 A A A A A 2A A A 2110(个)121324 1224 13 1213反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路常见附加条件有：(1)首位不能为 0
16、；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数跟踪训练 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被 5 整除的五位数；(2)能被 3 整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an，则 240 135 是第几项考点 排列的应用题点 数字的排列问题解 (1)个位上的数字必须是 0 或 5.个位上是 0，有 A 个；个位上是 5，若不含 0，则有 A45个；若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A 种排法，其余各位有 A 种排法，故共有4 13 34A A A A 216(个)能被 5 整除的五位数4
17、5 4 1334(2)能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两种情况，能够组成的五位数分别有 A 个和 A A 个5 144故能被 3 整除的五位数有 A A A 216(个)5 144(3)由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A 个数，首位数字为 2，万位上为50,1,3 中的一个，有 3A 个数，4240 135 的项数是 A 3A 1193，5 4即 240 135 是数列的第 193 项16 位学生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为( )A36 B120 C240 D720考点 排列的应用题点
18、 无限制条件的排列问题7答案 D解析 不同的排法有 A 654321720(种)626 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A240 种 B360 种 C480 种 D720 种考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题答案 C解析 第一步：排甲，共有 A 种不同的排法；第二步：排其他人，共有 A 种不同的排法，14 5因此不同的演讲次序共有 A A 480(种)1453用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个考点 排列的应用题点 数
19、字的排列问题答案 B解析 当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 2A 48(个)；34当五位数的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 3A 72(个)，所以34比 40 000 大的偶数共有 4872120(个)45 位母亲带领 5 名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有_种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 86 400解析 第 1 步，先排 5 位母亲的位置，有 A 种排法；5第 2 步，把 5 名儿童插入 5 位母亲所形成的 6 个空位中，如下所示：母亲_母亲_母亲_母亲_母亲_，共有 A 种排法56由分步乘法
20、计数原理可知，符合条件的站法共有 A A 86 400(种)5 565两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为_考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 24解析 分 3 步进行分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有 A 2(种)排法，28两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 A 2(种)排法，2将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有 A 6(种)排法则共有322624(种)排法求解排列问题的主要方法：直接法 把符合条件的排列数直接列式计算优先法
21、 优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法 正难则反，等价转化的方法一、选择题1将 3 张不同的电影票全部分给 10 个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A1 260 B120 C240 D720考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 D解析 相当于 3 个元素排 10 个位置，有 A 720(种)不同的分法3102要从 a， b， c， d， e 5
22、个人中选出 1 名组长和 1 名副组长，但 a 不能当副组长，则不同的选法种数是( )A20 B16 C10 D6考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 B解析 不考虑限制条件有 A 种选法，若 a 当副组长，有 A 种选法，故 a 不当副组长，有 A25 14A 16(种)选法25 143一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )9A33! B3(3！) 3 C(3！) 4 D9!考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 C解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为 A (A )3(3！) 4.故选 C.3 34某电视台一节目收视率很
23、高，现要连续插播 4 个广告，其中 2 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A8 种 B16 种 C18 种 D24 种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 A解析 可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有 A 种；第二步，在前两个位置选一个12排第二个商业广告，有 A 种；第三步，余下的两个位置排公益宣传广告，有 A 种根据分12 2步乘法计数原理，不同的播放方式共有 A A A 8(种)，故选 A.12 12 25由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺
24、序排成一个数列 an，则 a72等于( )A1 543 B2 543 C3 542 D4 532考点 排列的应用题点 数字的排列问题答案 C解析 首位是 1 的四位数有 A 24(个)，34首位是 2 的四位数有 A 24(个)，34首位是 3 的四位数有 A 24(个)，34由分类加法计数原理得，首位小于 4 的所有四位数共 32472(个)由此得 a723 542.6在制作飞机的某一零件时，要先后实施 6 个工序，其中工序 A 只能出现在第一步或最后一步，工序 B 和 C 在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )A34 种 B48 种 C96 种 D144 种考点 排列的应用题点
25、元素“相邻”与“不相邻”问题答案 C解析 由题意可知，先排工序 A，有 2 种编排方法；再将工序 B 和 C 视为一个整体(有 2 种10顺序)与其他 3 个工序全排列共有 2A 种编排方法故实施顺序的编排方法共有422A 96(种)故选 C.47由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )A210 个 B300 个 C464 个 D600 个考点 排列的应用题点 数字的排列问题答案 B解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有300(个)5A528某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每
26、天安排 1 人，每人值班 1 天若 7 位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在 10 月 1 日值班，丁不在 10 月 7 日值班，则不同的安排方案共有( )A504 种 B960 种 C1 108 种 D1 008 种考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题答案 D解析 由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有 A A 1 440(种)，其26中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在 10 月 1 日值班的方案共有 A A 240(种)，25满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在 10 月 7 日值班的方案共有 A A 240(种)，25满足甲、乙两人安排在相邻
27、两天值班且丙在 10 月 1 日值班、丁在 10 月 7 日值班的方案共有A A 48(种)因此满足题意的方案共有 1 4402240481 008(种)24二、填空题95 个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有_种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 72解析 甲、乙两人相邻共有 A A 种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有24A A A 72(种)排法5 2410从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_种参赛方案考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题答案 24011解析 方法一 从人(元素
28、)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第 1 类，甲不参赛，有 A 种参赛方案；45第 2 类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有 2 种方法，然后安排其他 3 棒，有A 种方法，此时有 2A 种参赛方案35 35由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A 2A 240(种)45 35方法二 从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5 人中选 2 人，有 A 种方法；其余两棒从剩余 4 人中选，有 A 种方法25 24由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A A 240(种)2524方法三 (排除法)：不考
29、虑甲的约束，6 个人占 4 个位置，有 A 种安排方法，剔除甲跑第46一棒和第四棒的参赛方案有 2A 种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有35A 2A 240(种)46 3511六个停车位置，有 3 辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为_考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 24解析 把 3 个空位看作一个元素，与 3 辆汽车共有 4 个元素全排列，故停放的方法有A 432124(种)4三、解答题12分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；(2)6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排
30、尾；(3)6 人排成一排，甲、乙不相邻考点 排列的应用题点 排列的简单应用解 (1)分排与直排一一对应，故排法种数为 A 720.6(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 A 种选法，然后其他 5 人排，有 A 种14 5排法，故排法种数为 A A 480.145(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙在已排好的 4 人的左、右及之间的空位中排，共有 A A 480(种)排法425四、探究与拓展13用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_(用数字作答)考点 排列
31、的应用12题点 数字的排列问题答案 40解析 第一步，让 1,2 必相邻有 A 种排法；第二步，在 5 个位置上任取 1 个位置排有 5 种2方法；第三步，在与 1,2 相邻的一个位置上排有 2 种方法；第四步，在下一个位置上仍有 2种方法；第五步，其余 2 个位置只有 1 种排法故共有 A 522140(种)214高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题解 分两类：第 1 类，数学课在上午第一节或第四节共 A 种排法，体育课在下午共 A 种排法，理、化课12 12安排在上午一节，下午一节有 2A 种排法，其余两门在剩下的位置安排共 A 种2 2由分步乘法计数原理知，共有 A A 2A A 32(种)排法12 12 2 2第 2 类，数学课安排在上午第二节或第三节，共 A 种排法，体育课安排在下午有 A 种排法，12 12理、化课安排在上午一节和下午一节，共 A 种排法，其余两门在余下的位置安排共 A 种排2 2法由分步乘法计数原理知，共有 A A A A 16(种)排法12 12 2 2综上，由分类加法计数原理知，排法种数为 N321648.
