1、1习题课 两个计数原理与排列、组合学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步加深理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题1两个计数原理(1)分类加法计数原理(2)分步乘法计数原理2排列、组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类3解析受限制条件的排列、组合问题的一般策略2(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)
2、平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略类型一 两个计数原理的应用命 题 角 度 1 “类 中 有 步 ”的 计 数 问 题例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 28 800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有3029
3、2017 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有 20193011 400(种)结果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从 A 到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第 2 类办法中有 2 步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为 m1m2m3 m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接， “步”用“”号连接， “类”独立， “步”连续， “类”标志一件事3的完成， “步”缺一不可跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色，要
4、对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A24 种 B30 种 C36 种 D48 种考点 涂色问题题点 涂色问题答案 D解析 将原图从上而下的 4 个区域标为 1,2,3,4.因为 1,2,3 之间不能同色，1 与 4 可以同色，因此，要分类讨论 1,4 同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为432432148.故选 D.命 题 角 度 2 “步 中 有 类 ”的 计 数 问 题例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力”、 “台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测
5、试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 264解析 上午总测试方法有 432124(种)；我们以 A， B， C， D， E 依次代表五个测试项目若上午测试 E 的同学下午测试 D，则上午测试 A 的同学下午只能测试 B， C，确定上午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午测试A， B， C 之一，则上午测试 A， B， C 中任何一个的同学下午都可以测试 D，安排完这位同学后其余两位同学的
6、测试方式就确定了，故共有 339(种)测试方法，即下午的测试方法共有 11 种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有 2411264(种)反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由 A 到 D 算作完成一件事，可简单地记为 A D.4完成 A D 这件事，需要经历三步，即 A B， B C， C D.其中 B C 这步又分为三类，这就是步中有类其中 mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数完成 A D 这件事的方法数为 m1(m2 m3 m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法5跟踪训练 2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )A
7、11 B12 C20 D21考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 D解析 根据题意，设 5 个开关依次为 1,2,3,4,5，若电路接通，则开关 1,2 与 3,4,5 中至少有 1 个接通，对于开关 1,2，共有 224(种)情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的有 413(种)情况，对于开关 3,4,5，共有 2228(种)情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的有 817(种)情况，则电路接通的情况有 3721(种)故选 D.类型二 有限制条件的排列问题例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起
8、，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？考点 排列的应用题点 有限制条件的排列问题解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有 A 种不同排法对于其中的每一种排法，3 个女6生之间又有 A 种不同的排法，因此共有 A A 4 320(种)不同的排法3 6 3(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相
9、邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有 6 个位置，再把 3 个女生插入这66 个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5 个男生排成一排有 A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 35个来让 3 个女生插入有 A 种方法，因此共有 A A 14 400(种)不同的排法36 5 36(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A 种排法，所以共有25 6A A 14 400(种)不同的
10、排法25 6方法二 (间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A 种不同的排法，从中扣除女生排在8首位的 A A 种排法和女生排在末位的 A A 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除13 7 13 7女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有 A A 种不同的排法，所以共有 A 2A A A A 14 400(种)不同23 6 8 13 7 23 6的排法方法三 (特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入，有 A 种不同的36排法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都有 A 种不同的排法，所以共有5
11、A A 14 400(种)不同的排法36 5(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有 A A 种不同的排法；如果首位排女生，有 A 种排法，这时末位就只能15 7 13排男生，这样可有 A A A 种不同的排法13 15 6因此共有 A A A A A 36 000(种)不同的排法15 7 13 15 6方法二 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 A A8 23种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A A A 36 000(种)不同的排6 8 23 6法(5)(顺序固定问题)因为 8 人
12、排队，其中两人顺序固定，共有 20 160(种)不同的排法A8A2反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法” ，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法” ，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法” ，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练
13、 3 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名学生中至少有 1 人参加，且当这 3 名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为( )7A720 B768 C810 D816考点 排列的应用题点 有限制条件的排列问题答案 B解析 根据题意，在 7 名学生中选派 4 名学生参加诗歌朗诵比赛，有 A 840(种)情况，47其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有 A 24(种)，4则甲、乙、丙这 3 名学生中至少有 1 人参加的情况有
14、 84024816(种)；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有 C A A 48(种)，1423则满足题意的朗诵顺序有 81648768(种)故选 B.类型三 排列与组合的综合应用例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有多少种？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 分三类：第一类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有 C C C C A12 12 12 12种4第二类，当取出
15、的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有 C C A 种2 2 4第三类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 C C A 种2 2 4故满足题意的所有不同的排法种数为 C C C C A 2C C A 432.12 12 12 12 4 2 2 4反思与感悟 解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排” ，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条
16、件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练 4 某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为_考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用8答案 36解析 先从 4 名调研员中选 2 名去同一所学校有 C 种方案，然后与另外两名调研员进行全24排列对应三所学校，有 A 种方案，故共有 C A 36(种)分配方案3 2431给一些书编号，准备用 3 个字符，其中首字符用 A， B，后两个字符用 a， b， c(允许重复)，则不同编号的书共有( )A8 本 B9
17、本 C12 本 D18 本考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 D解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有 23318(本)2在 100 件产品中，有 3 件是次品，现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的取法种数为( )AC C BC C C C23397 23397 3297CC C C DC C5100 13497 5100 597考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 B解析 根据题意， “至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况，“有 2 件次品”的抽取方法有 C C 种， “有 3 件次品”的抽取方法有 C C
18、种，则共有23 397 3 297C C C C 种不同的抽取方法，故选 B.23397 3 2973从 4 男 3 女志愿者中选 1 女 2 男分别到 A， B， C 三地去执行任务，则不同的选派方法有( )A36 种 B108 种 C210 种 D72 种考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 B解析 从 4 男 3 女志愿者中选 1 女 2 男有 C C 18(种)方法，分别到 A， B， C 地执行任务，1324有 A 6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有 186108(种)348 次投篮中，投中 3 次，其中恰有 2 次连续命中的情形有_种考点 排列的
19、应用题点 排列的简单应用答案 309解析 将 2 次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外 5 次不命中留下的 6 个空档里进行排列有 A 30(种)265某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种(用数字作答)考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题答案 96解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 种方法乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A4种方法丙传第一棒，共有 C A 种方法由分类计数原理得，共有4 12 4A A C A 96(种)方法4 4
20、12 41分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础2解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理3对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏4对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏一、选择题1按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 型四种之一依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时，子女的血型一定不是 O 型若某人的血型为 O 型，则
21、其父母血型的所有可能情况有( )A12 种 B6 种 C10 种 D9 种考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 D解析 由题意，他的父母的血型都是 A，B，O 三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有 339(种)102若 C C ，则 的值为( )3n 4nn！3！ n 3！A1 B20 C35 D7考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 C解析 若 C C ，则3n 4nnn 1n 2321 ，可得 n7，nn 1n 2n 34321所以 35.n！3！ n 3！ 7！3！ 4！ 7653213在 100,101,102，999 这些数中，各位数
22、字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )A120 B204 C168 D216考点 排列的应用题点 数字的排列问题答案 B解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含 0 时，从 9 个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有 2C 168(个)，39当三个数字中含有 0 时，从 9 个数字中选 2 个数，它们只有递减一种结果，共有 C 36(个)，29根据分类加法计数原理知共有 16836204(个)，故选 B.4有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )A72 种 B54 种 C
23、48 种 D8 种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 C解析 用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有 A A A ，第二步：将每对师徒2 2 2当作一个整体进行排列有 A 种，由分步乘法计数原理可知共有 A (A )348(种)3 3 25用 1,2,3,4,5 这五个数字可以组成比 20 000 大，且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数的个数为( )A96 B78 C72 D64考点 排列的应用11题点 数字的排列问题答案 B解析 比 20 000 大含两层含义：一是万位不是 1，二是 5 个数字全用上，故问题等价于“由 1,2,3,4,5 这五个数字组成万位不
24、是 1，百位不是 3 的无重复数字的个数” ，万位是 3时，有 A 个，万位不是 3 时，有 33A 个，所以共有 A 33A 78(个)，故选 B.4 3 4 36用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A4 320 种 B2 880 种 C1 440 种 D720 种考点 涂色问题题点 涂色问题答案 A解析 第一个区域有 6 种不同的涂色方法，第二个区域有 5 种不同的涂色方法，第三个区域有 4 种不同的涂色方法，第四个区域有 3 种不同的涂色方法，第五个区域有 4 种不同的涂色方法，第六个区域有 3 种不同的涂色方法根据分步乘法计数原理知，
25、共有6543434 320(种)涂色方法7某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1， a2， a3， a4， a5,4 种退烧药 b1， b2， b3， b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知 a1， a2两种药必须同时使用，且 a3， b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有( )A56 种 B28 种 C21 种 D14 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 D解析 分 3 类：当取 a1， a2时，再取退烧药有 C 种方案；取 a3时，取另一种消炎药的方法14有 C 种，再取退烧药有 C 种，共有 C C 种方案；取 a4， a5时，再取退烧药有
26、 C 种方12 13 1213 14案故共有 C C C C 14(种)不同的实验方案14 1213 148某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为( )A360 B520 C600 D720考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 C12解析 根据题意，可分两种情况讨论：甲、乙两人中只有一人参加，有C C A 480(种)情况；甲、乙两人都参加，有 C C A 240(种)情况，其中甲、12 35 4 2 25 4乙两人的发言相邻的情况有 C C A A 120(种)故不同
27、发言顺序的排法种数为2 25 3 2480240120600.二、填空题9小明、小红等 4 位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有_种考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 4解析 设小明、小红等 4 位同学分别为 A， B， C， D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为( AC， BD)与( AD， BC)若 AC 选甲学校，则 BD 选乙学校，若 AC 选乙学校，则 BD 选甲学校；若 AD 选甲学校，则 BC 选乙学校，若 AD 选乙学校，则 BC 选甲学校故共有 4 种方法10现安排甲、乙
28、、丙、丁、戊 5 名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 126解析 按从事司机工作的人数进行分类：有 1 人从事司机工作：C C A 108(种)；13243有 2 人从事司机工作：C A 18(种)23 3不同安排方案的种数是 10818126.11连接正三棱柱的 6 个顶点，可以组成_个四面体考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题答案 12解析 从正三棱柱的 6 个顶点中任取 4 个，有 C 种方法，其
29、中 4 个点共面的有 3 种情况，46故可以组成 C 312(个)四面体4612用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用13答案 8解析 首先排两个奇数 1,3，有 A 种排法，再在 2,4 中取一个数放在 1,3 之间，有 C 种排2 12法，然后把这 3 个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A 种排法，即满足条件2的四位数的个数为 A C A 8.2122三、解答题13有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，求：(1)5 名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5 名同学站
30、成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将 5 名同学分配到三个班，每班至少 1 人，共有多少种不同的分配方法？考点 排列的应用题点 排列的简单应用解 (1)有 A 120(种)不同的方法5(2)5 名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有 A A A 24(种)不同2223的方法(3)按人数分配方式分类：3,1,1，有 A 60(种)方法；C35C12C1A2 32,2,1，有 A 90(种)方法C25C23A2 3故共有 6090150(种)分配方法四、探究与拓展14已知 xi1,0,1， i1,2,3,4,5,6，则满足 x1 x2 x3 x
31、4 x5 x62 的数组(x1， x2， x3， x4， x5， x6)的个数为_考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 90解析 根据题意， x1 x2 x3 x4 x5 x62， xi1,0,1， i1,2,3,4,5,6， xi中有 2 个 1 和 4 个 0，或 3 个 1、1 个1 和 2 个 0，或 4 个 1 和 2 个1，共有 C C C26 36C 90(个)，满足 x1 x2 x3 x4 x5 x62 的数组( x1， x2， x3， x4， x5， x6)的个数23 46为 90.154 位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲
32、题答对得 100 分，答错得100 分；选乙题答对得 90 分，答错得90 分若 4 位同学的总分为 0 分，则这 4 位同学有多少种不同的得分情况？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用14解 本题分两种情况讨论(1)如果 4 位同学中有 2 人选甲，2 人选乙若这 4 位同学的总分为 0 分，则必须是选甲的2 人一人答对，另一人答错，选乙的 2 人一人答对，另一人答错有 C A A 24(种)不同的2422情况(2)如果 4 位同学都选甲或者都选乙若这 4 位同学的总分为 0 分，则必须是 2 人答对，另2 人答错，有 C C C 12(种)不同的情况12242综上可知，一共有 241236(种)不同的情况
