1、1第一章 计数原理章末检测试卷(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1若 A 2A ，则 m 的值为( )5m 3mA5 B3C6 D7考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 A解析 依题意得 2 ，m！m 5！ m！m 3！化简得( m3)( m4)2，解得 m2 或 m5，又 m5， m5，故选 A.2一次考试中，要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行解答，其中至少包含前 5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同选法的种数是( )A40 B74C84 D200考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案
2、 B2解析 分三类：第一类，从前 5 个题目中选 3 个，后 4 个题目中选 3 个；第二类，从前 5 个题目中选 4 个，后 4 个题目中选 2 个；第三类，从前 5 个题目中选 5 个，后 4 个题目中选 1个，由分类加法计数原理得 C C C C C C 74.3534 4524 5143若实数 a2 ，则 a102C a92 2C a82 10等于( )2 10 210A32 B32C1 024 D512考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 A解析 由二项式定理，得 a102C a92 2C a82 10C (2) 0a10C (2)10 210 01 101a9C (2
3、) 2a8C (2) 10( a2) 10( )102 532.210 10 24分配 4 名水暖工去 3 户不同的居民家里检查暖气管道要求 4 名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )AA 种 BA A 种34 313CC A 种 DC C A 种243 14133考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 C解析 先将 4 名水暖工选出 2 人分成一组，然后将三组水暖工分配到 3 户不同的居民家，故有 C A 种2435( x2) 2(1 x)5中 x7的系数与常数项之差的绝对值为( )A5 B3C2 D0考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中
4、特定项的系数答案 A解析 常数项为 C 22C 4， x7系数为 C C (1) 51，因此 x7系数与常数项之2 05 02 5差的绝对值为 5.6计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为( )AA A BA A A45 23435CC A A DA A A1345 245考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题3答案 D解析 先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A 种放法，再考虑 4 幅油画本身排放有 A 种方法，5 幅国画
5、本身排放有 A 种方法，故不同2 4 5的陈列法有 A A A 种2457设(2 x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，那么 的值为( )a0 a2 a4a1 a3A B122121 6160C D1244241考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 令 x1，可得 a0 a1 a2 a3 a4 a51，再令 x1 可得a0 a1 a2 a3 a4 a53 5.两式相加除以 2 求得 a0 a2 a4122，两式相减除以 2 可得a1 a3 a5121.又由条件可知 a51，故 .a0 a2 a4a1 a3 61608圆周上有 8 个等分圆周的点，以这些等分点
6、为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( )A16 B24C32 D48考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题答案 C解析 圆周上 8 个等分点共可构成 4 条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着 6 个直角三角形，共有 C C 24(个)直角三角形，斜三角形的个数为 C C C 32(个)1416 38 14169将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校，要求每所学校至少有 1 个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )A96 B114C128 D136考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 B解析 由题意可得每所学校至少有 1 个名
7、额的分配方法种数为 C 136，分配名额相等有21722 种(可以逐个数)，则满足题意的方法有 13622114(种)410已知二项式 n的展开式中第 4 项为常数项，则 1(1 x)2(1 x)(x 13x)3(1 x)n中 x2项的系数为( )A19 B19C20 D20考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用答案 D解析 n的展开式 Tk1 C ( )n k kC526nkx，由题意知 0，得(x 13x) kn x (13x) kn n2 536n5，则所求式子中 x2项的系数为 C C C C 1361020.故选 D.2 23 24 251112 名同学合影，站成前排 4
8、人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排(这样就成为前排 6 人，后排 6 人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )AC C BC A2823 286CC A DC A2826 2825考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 C解析 先从后排中抽出 2 人有 C 种方法，再插空，由题意知，先从 4 人中的 5 个空中插入281 人，有 5 种方法，余下 1 人则要插入前排 5 人的空中，有 6 种方法，即为 A ，共有 C A26 28种调整方法2612已知等差数列 an的通项公式为 an3 n5，则(1 x)5(1 x)6(1 x)7的展
9、开式中含 x4项的系数是该数列的( )A第 9 项 B第 10 项C第 19 项 D第 20 项考点 二项式定理的应用题点 二项式定理与其他知识点的综合应用答案 D解析 (1 x)5(1 x)6(1 x)7的展开式中含 x4项的系数是C C C 5153555，由 3n555 得 n20.故选 D.45 46 47二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13男、女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有_人考点 组合数公式5题点 组合数公式的应用答案 2 或 3解析 设女生有 x 人，则 C C 30，28 x1x
10、即 x30，解得 x2 或 3.8 x7 x214学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂 4 棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏 2 棵银杏树，要求 2 棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有_种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 240解析 分两步完成：第一步，将 2 棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有 A 种种植方法；2第二步，将银杏树与 4 棵桂花树全排列，有 A 种种植方法5由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有 A A 240(种)2 515(1sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为 ，则 x 在0,2内的值52为_考点 二项式定理的
11、应用题点 二项式定理与其他知识点的综合应用答案 或 6 56解析 由题意，得 T4C sin3x20sin 3x ，3652sin x .12 x0,2， x 或 x . 6 5616将 A， B， C， D 四个小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且 A， B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有_种考点 两个计数原理的应用题点 两个原理的综合应用答案 30解析 先把 A， B 放入不同盒中，有 326(种)放法，再放 C， D，若 C， D 在同一盒中，只能是第 3 个盒，1 种放法；若 C， D 在不同盒中，则必有一球在第 3 个盒中，另一球在 A 或 B
12、的盒中，有 224(种)放法6故共有 6(14)30(种)放法三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知 A x|1log2x3， xN *， B x|x6|3， xN *试问：(1)从集合 A 和 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？(2)从 A B 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？考点 两个计数原理的应用题点 两个原理的综合应用解 A3,4,5,6,7， B4,5,6,7,8(1)从 A 中取一个数作为横坐标，从 B 中取一个数作为纵坐标，有 5525(个)，而 8 作为横坐标的情况有 5
13、 种，3 作为纵坐标的情况有 4 种，故共有 555434(个)不同的点(2)A B3,4,5,6,7,8，则这样的三位数共有 C 20(个)3618(12 分)已知(12 )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的 2 倍，而且x是它的后一项系数的 倍，试求展开式中二项式系数最大的项56考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用解 二项式的通项为 Tk1 C (2k) 2x，kn由题意知展开式中第 k1 项系数是第 k 项系数的 2 倍，是第 k2 项系数的 倍，56Error!解得 n7.展开式中二项式系数最大两项是T4C (2 )328032x与 T5C (2 )4560
14、x2.37 x 47 x19(12 分)10 件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有 2 件商品不能参加评选，要选出 4 件商品，并排定选出的 4 件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选 6 件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 (1)10 件商品，除去不能参加评选的 2 件商品，剩下 8 件，从中选出 4 件进行排列，有A 1 680(或 C A )(种)48 48 4(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在 6 个位置中的两个位置上，有 A 种方法，267再从剩下的
15、8 件商品中选出 4 件，布置在剩下的 4 个位置上，有 A 种方法，共有48A A 50 400(或 C A )(种)26 48 48 620(12 分)设 m a0 a1x a2x2 a3x3 amxm，若 a0， a1， a2成等差数列(112x)(1)求 m展开式的中间项；(112x)(2)求 m展开式中所有含 x 的奇次幂的系数和(112x)考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用解 (1)依题意 a01， a1 ， a2C 2.m2 2m(12)由 2a1 a0 a2，求得 m8 或 m1(应舍去)，所以 m展开式的中间项是第五项，(112x)T5C 4 x4.48(12x
16、) 358(2)因为 m a0 a1x a2x2 amxm，(112x)即 8 a0 a1x a2x2 a8x8.(112x)令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a8 8，(32)令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a8 8，(12)所以 a1 a3 a5 a7 ，38 129 20516所以展开式中所有含 x 的奇次幂的系数和为 .2051621(12 分)把 n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数” ， “再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数(1)求 1,2,3,4 的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意 5 个正整数(可相同)的再生数的
17、个数考点 排列的应用题点 数字的排列问题解 (1)1,2,3,4 的再生数的个数为 A 24，其中最大再生数为 4 321，最小再生数为 1 234.4(2)需要考查 5 个数中相同数的个数8若 5 个数各不相同，有 A 120(个)；5若有 2 个数相同，则有 60(个)；A5A2若有 3 个数相同，则有 20(个)；A5A3若有 4 个数相同，则有 5(个)；A5A4若 5 个数全相同，则有 1 个22(12 分)已知 m， n 是正整数， f(x)(1 x)m(1 x)n的展开式中 x 的系数为 7.(1)对于使 f(x)的 x2的系数为最小的 m， n，求出此时 x3的系数；(2)利用
18、上述结果，求 f(0.003)的近似值；(精确到 0.01)(3)已知(12 x)8展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，求 .ba考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用解 (1)根据题意得 C C 7，1m 1n即 m n7，f(x)中的 x2的系数为C C2m 2n mm 12 nn 12 .m2 n2 m n2将变形为 n7 m 代入上式得 x2的系数为m27 m21 2 ，(m72) 354故当 m3 或 m4 时， x2的系数的最小值为 9.当 m3， n4 时， x3的系数为 C C 5；3 34当 m4， n3 时， x3的系数为 C C 5.34 3(2)f(0.003)(10.003) 4(10.003) 3C C 0.003C C 0.0032.02.04 14 03 13(3)由题意可得 aC 70，再根据48Error!即Error!求得 k5 或 6，此时， b72 8，9 .ba 1285
