1、1一 二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若 a2+b2=2,则 a+b 的最大值为( )A.1 B. C.2 D.42解析 由柯西不等式可得( a2+b2)(12+12)( a+b)2,即( a+b)24,所以 -2 a+b2(当且仅当 a=1,b=1或 a=-1,b=-1 时,等号成立),即 a+b 的最大值为 2.答案 C2.已知 =2,x,y0,则 x+y 的最小值是( )4+9A. B. C. D.5252 254 52解析 由 =2,4+9可得 x+y=()2+()2(2)2+(3)22 (2+3)2= .12(2+3)2=12 252当且仅当 ,即 x=5,y= 时等号成立 .
2、3=2 152答案 A3.已知 3x+2y=1,则当 x2+y2取最小值时,实数 x,y 的值为( )A. B.=313,=213 =213,=3132C. D.=16,=14 =14,=16解析 因为 x2+y2= (x2+y2)(32+22) (3x+2y)2= ,所以当 x2+y2有最小值 ,当且仅当 时,113 113 113 113 3=2等号成立,得=313,=213.答案 A4.函数 y= +2 的最大值是( )-5 6-A. B. C.3 D.53 5解析 根据柯西不等式,知 y=1 +2 ,当-5 6-12+22(-5)2+(6-)2=5且仅当 =2 ,即 x= 时,等号成立
3、 .6- -5265答案 B5.已知 m2+n2= ,则 m+2n 的最大值为 ( )14 2A. B. C. D.632 62 6解析 由柯西不等式可得( m2+n2)( )2+22( m+2n)2,即 6( m+2n)2,则 m+2n ,故2 214 2 2 62m+2n 的最大值为 .262答案 B6. 导学号 26394051 若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形 ABCD 周长的最大值为( )A.2R B.2 R C.4R D.4 R2 23解析 如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x,则宽为 ,于是 ABCD 的周长 l=2(x+ )42-2 42-2=
4、2(1x+1 ).42-2由柯西不等式得 l2 x2+( )2 (12+12 =22R =4 R,当且仅当 x1=42-212 )12 2 21,即 x= R 时,等号成立 .42-2 2此时 R,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形42-2=42-(2)2=2是正方形,其周长为 4 R.2答案 D7.若 3x+4y=2,则 x2+y2的最小值为 . 解析 由柯西不等式( x2+y2)(32+42)(3 x+4y)2,得 25(x2+y2)4,所以 x2+y2 .425(当且仅当 3=4时,等号成立 )解方程组3+4=2,3=4, 得 =625,=825.因此,当 x= ,y
5、= 时, x2+y2取得最小值,最小值为 .625 825 425答案4258.设 a,b,c,d,m,n 都是正实数, P= ,Q= ,则 P 与 Q 的大小关系是 .+4解析 P=+()2+()2( )2+()2= =Q 当且仅当 时,等号成立 .+ ( = )答案 P Q9.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则( am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析 由柯西不等式( a2+b2)(c2+d2)( ac+bd)2,可得( am+bn)(bm+an)( )+2=mn(a+b)2=2,即( am+bn)(bm+an)的最小值为 2.答案 210.函数 y= 的
6、最大值为 . -4+25-5解析 y= ,-4+25-5y= 1 -4+55- 当且仅当 ,即 x= 时等号成立 .(1+5)(-4+5-)=6( 5-=5-4 256 )答案 611.已知 a,bR +,且 a+b=1,则 的最小值是 . 12+1解析 因为 a,bR +,且 a+b=1,所以 =(a+b) ,由柯西不等式得( a+b)12+1 (12+1),当且仅当 ,且 a+b=1,即 a= -1,b=2-(12+1)( 12+1)2=(22+1)2=32+2 =2 2时, 取最小值 .212+1 32+2答案32+212.已知 a,b,c 为正数,且满足 acos2+b sin2c ,
7、求证 cos2+ sin2 . 5证明 由柯西不等式得 cos2+ sin2 ()2+()22+2= ,()2+()2=2+2故不等式成立 .13.设 a,bR +,且 a+b=2.求证 2 .22-+ 22-证明 由柯西不等式,有(2-a)+(2-b)(22-+ 22-)=( )2+( )22- 2- (2-)2+( 2-)2 (2- 2-+2- 2-)2=(a+b)2=4.则22-+ 22- 4(2-)+(2-)=2 .(当且仅当 2-2-=2-2-时,等号成立 )故原不等式成立 .14.已知 x2+y2=2,且 |x| |y|,求 的最小值 .1(+)2+ 1(-)2解 令 u=x+y,
8、v=x-y,则 x= ,y= .+2 -2x 2+y2=2, (u+v)2+(u-v)2=8,u 2+v2=4.由柯西不等式,得 (u2+v2)4,(12+12)6当且仅当 u2=v2=2,即 x= ,y=0,或 x=0,y= 时, 的最小值是 1.2 21(+)2+ 1(-)215. 导学号 26394053 求函数 y= 的最小值 .2-2+3+2-6+14解 y= ,(-1)2+2+(3-)2+5根据柯西不等式,有 y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 (-1)2+2(3-)2+5( x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)(3-x)+ =(x-1)+(3-x)2+( )2=11+2 .10 2+5 10当且仅当 (x-1)= (3-x),即 x= 时,等号成立 .5 232+52+5此时 ymin= +1.11+210=(10+1)2=10
