1、1第二讲 证明不等式的基本方法测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知 ,则下列不等式成立的是( )11A.a12 -解析 由 0,即 0,则 1得 11 - -答案 D2.若 aR,且 p= ,q=a2-a+1,则( )12+1A.p q B.pq C.p q D.p0,且 =(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,所以 q p.2答案 C3.(2017 江西二模)求证 ,p=(x1- )2+(x2- )2+(xn- )2,q=(x1-a)2+(x2-a)=1+2+ 2+(xn-a)2,若 a ,则一定有
2、( )A.pq B.pb 与 ab 与 ab 与 a0,则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值 ( )A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为 0 D.可正可负解析 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数且为奇函数,且 a30,所以 f(a3)f(0)=0,而 a1+a5=2a3,所以a1+a50,则 a1-a5,于是 f(a1)f(-a5),即 f(a1)-f(a5),所以 f(a1)+f(a5)0,故 f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案 A6.要使 成立, a,b 应满足的条件是( )33bB.ab0,且 abC.ab0,且 ab 或 ab0 时,有 ,即 ba.33答案 D7.设
3、a,b,cR,且 a,b,c 不全相等,则不等式 a3+b3+c33 abc 成立的一个充要条件是( )A.a,b,c 全为正数 B.a,b,c 全为非负实数C.a+b+c0 D.a+b+c0解析 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而 a,b,c 不全12相等( a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故 a3+b3+c3-3abc0 a+b+c0 .答案 C8.设 a,b,c,dR,若 a+d=b+c,且 |a-d|bc D.ad bc解析 |a-d|bc.答案 C9.使不等式 1+
4、成立的正整数 a 的最大值是 ( )3+8 A.10 B.11 C.12 D.13解析 用分析法可证当 a=12 时不等式成立,当 a=13 时不等式不成立 .答案 C410.已知 a,b,c(0, + ),若 ,则( )+b+cc+a.由 a+bb+c 可得 ac,由 b+cc+a 可得 ba,于+ n,m,nN +,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中 x1,则( )A.ab B.a bC.a b D.a1,所以 lg x0.当 lg x=1 时, a-b=0,所以 a=b;当 lg x1 时, a-b0,所以 ab;当 00,所以 ab.综上,
5、 a b.答案 B512.已知 x,y0,且 xy-(x+y)=1,则 ( )A.x+y2( +1) B.xy +12 2C.x+y( +1)2 D.xy +12 2解析 由 xy-(x+y)=1 可得 xy=1+x+y1 +2 ,即( )2-2 -10,所以 +1,则 xy( +1) 2 22,排除 B 和 D;因为 xy=x+y+1 ,解得 x+y2( +1).故选 A.(+2 )2 2答案 A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.当 x1 时, x3与 x2-x+1 的大小关系是 . 解析 因为 x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(
6、x-1)=(x-1)(x2+1),且 x1,所以( x-1)(x2+1)0.因此 x3-(x2-x+1)0,即 x3x2-x+1.答案 x3x2-x+114.设 0f f f .() (+) () (-)答案 f f f f() (+) () (-)15.若 a +b a +b ,则 a,b 应满足的条件是 . 解析 因为 a +b a +b ( )2( )0a0, b0,且 a b. +答案 a0, b0,且 a b616.设 a,b 为正数, 为锐角, M= ,N=( )2,则 M,N 的大小关系是 .(+ 1)(+ 1) +2解析 因为 a0,b0, 为锐角,所以 N=ab+2 +2,M
7、=ab+ ab+2 当且仅当2+ + 1 22+ 22( 时,等号成立 .= )又 sin 2 1,所以 M ab+2 +2=N,当且仅当 a=b,且 = 时,等号成立 .24答案 M N三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)设 ab0,求证 .2-22+2-+证明 因为 ab0,所以 0, 0.2-22+2 -+又 =1+ 1,2-22+2-+=(+)22+2 22+2故 .2-22+2-+18.(本小题满分 12 分)设 a,b0,a b,求证 a+b.32+32证明 -(a+b)=32+32 32+32(32+32)7=(a3-b3)(12-12)=
8、 ,(+)(-)2(2+2)22因为 a,b0,a b,所以 a+b0,(a-b)20,a2+ab+b20,a2b20,所以 0.(+)(-)2(2+2)22故 a+b.32+3219.(本小题满分 12 分)已知 a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明 ax+by1 .证明 要证 ax+by1 成立,只需证 1-(ax+by)0,只需证 2-2ax-2by0 .因为 a2+b2=1,x2+y2=1,只需证 a2+b2+x2+y2-2ax-2by0,即证( a-x)2+(b-y)20,显然成立 .所以 ax+by1 .20.(本小题满分 12 分)设 a,b,c,d 是正数,试证明下列
9、三个不等式:a+b0,(a+b)(c+d)ab+cd,所以 4cdab+cd.所以 3cdab,即 cd .3由 式,得( a+b)2 ,即 a2+b2- ab,与平方和为正数矛盾 .43 23故假设不成立,即不等式 中至少有一个不正确 .21. 导学号 26394042(本小题满分 12 分)已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证.1(1+)+ 1(1+)+ 1(1+)12证明 由已知及三个正数的算术 -几何平均不等式可得1(1+)+ 1(1+)+ 1(1+)33 1(1+) 1(1+) 1(1+)=33(1+)(1+)(1+)=333(1+)(1+)(1+) (当且仅当 a=b=
10、c=2 时,等号成立),3+3 1+1+1+3= 323=12故原不等式成立 .22. 导学号 26394043(本小题满分 12 分)设 Sn为数列 an的前 n 项和, Sn=nan-3n(n-1)(nN +),且 a2=11.(1)求 a1的值;(2)求数列 an的前 n 项和 Sn;9(3)设数列 bn满足 bn= ,求证 b1+b2+bn . 233+2(1)解 当 n=2 时,由 Sn=nan-3n(n-1),得 a1+a2=2a2-32(2-1),又 a2=11,可得 a1=5.(2)解 当 n2 时,由 an=Sn-Sn-1,得 an=nan-3n(n-1)-(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),整理,得 an-an-1=6(nN, n2) .又 a2-a1=6,所以数列 an是首项为 5,公差为 6 的等差数列 .所以 an=5+6(n-1)=6n-1.故 Sn= =3n2+2n.(1+)2(3)证明 bn= 13+2=223+2 23-1+3+2=2(3+2- 3-1)(3-1+3+2)(3+2- 3-1)= ),23(3+23-1所以 b1+b2+bn ( )+( )+( )+( )23 52 85 118 3+23-1= ) .23(3+22 233+2故 b1+b2+bn 成立 .233+2
