1、12.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为 X，则 X 可取哪些数字？ X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？答案 (1) x1,2,3,4,5,6，概率均为 .16(2)X 与 P 的对应关系为X 1 2 3 4 5 6P 16 16 16 16 16 16梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，
2、x2， xi， xn， X 取每一个值xi(i1,2， n)的概率 P(X xi) pi，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列2(2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0， i1,2,3， n； 1.ni 1pi1在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数( )2在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积( )3在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( )3类型一 离散型随机变量分布列的性质例 1 设随机变量 X 的分布列为 P
3、ak(k1,2,3,4,5)(Xk5)(1)求常数 a 的值；(2)求 P ；(X35)(3)求 P .(110X710)考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由 a2 a3 a4 a5 a1，得 a .115(2) P k(k1,2,3,4,5)，(Xk5) 115 P P P P(X1) .(X35) (X 35) (X 45) 315 415 515 45(3)当 X 时，只有 X ， 时满足，110 710 1525 35故 P(110X710) P P P(X15) (X 25) (X 35) .115 215 315 25反思与感悟 利用分布列
4、及其性质解题时要注意以下两个问题(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意 1，而且要注意 pi0， i1,2， n.ni 1pi跟踪训练 1 (1)设随机变量 只能取 5,6,7，16 这 12 个值，且取每一个值概率均相等，若 P( x) ，则 x 的取值范围是_112(2)设随机变量 X 的分布列为 P(X i) (i1,2,3)，则 P(X2)_.k2i考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率4答案 (1)(5,6 (2)37解析 (1)由条件知 P( k) ， k5,6，16，112P( x) ，故 5x6.112(2)由已知得随机变量 X 的分
5、布列为X 1 2 3P k2 k4 k8 1， k .k2 k4 k8 87 P(X2) P(X2) P(X3) .k4 k8 27 17 37类型二 求离散型随机变量的分布列命 题 角 度 1 求 离 散 型 随 机 变 量 y f 的 分 布 列例 2 已知随机变量 的分布列为 2 1 0 1 2 3P 112 14 13 112 16 112分别求出随机变量 1 ， 2 2的分布列12考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由 1 知，对于 取不同的值2，1,0,1,2,3 时， 1的值分别为121， ，0，1，12 12 32所以 1的分布列为 1
6、 1 12012132P 112 14 13 112 16 112由 2 2知，对于 的不同取值2,2 及1,1， 2分别取相同的值 4 与 1，即 2取 45这个值的概率应是 取2 与 2 的概率 与 的和， 2取 1 这个值的概率应是 取1 与112 161 的概率 与 的和，所以 2的分布列为14 112 2 0 1 4 9P 13 13 14 112反思与感悟 (1)若 是一个随机变量， a， b 是常数，则 a b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若 是随机变量， f(x)是连续函数或单调函数，则 f( )也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若 为离散型
7、随机变量，则 f( )也为离散型随机变量(2)已知离散型随机变量 的分布列，求离散型随机变量 f( )的分布列的关键是弄清楚 取每一个值时对应的 的值，再把 取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可跟踪训练 2 已知随机变量 的分布列为 2 1 0 1 2 3P 112 14 13 112 16 112分别求出随机变量 1 ， 2 22 的分布列12考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由 1 ，对于 2，1,0,1,2,3，得 1 ， ， ， ，相应12 523212 12 32 52的概率值为 ， ， .112141311216 112故
8、 1的分布列为 152 32 12123252P 112 14 13 112 16 112由 2 22 ，对于 2，1,0,1,2,3，得 28,3,0，1,0,3.所以 P( 28) ， P( 23) ，112 14 112 136P( 20) ， P( 21) .13 16 12 112故 2的分布列为 2 8 3 0 1P 112 13 12 112命 题 角 度 2 利 用 排 列 、 组 合 求 分 布 列例 3 某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 10 人，A 型血的有 12 人，B 型血的有 8 人，AB 型血的有 15 人现从中抽 1 人，其血型为随机变量 X，求 X 的
9、分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 将 O，A，B，AB 四种血型分别编号为 1,2,3,4，则 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(X1) ， P(X2) ，C10C145 29 C12C145 415P(X3) ， P(X4) .C18C145 845 C15C145 13故 X 的分布列为X 1 2 3 4P 29 415 845 13反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量 X 的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列跟踪训练 3 一袋中装有 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 个球
10、，以 X 表示取出的 3 个球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 随机变量 X 的可能取值为 1,2,3.当 X1 时，即取出的 3 个球中最小号码为 1，则其他 2 个球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 个球中取，故有 P(X1) ；C24C35 610 35当 X2 时，即取出的 3 个球中最小号码为 2，则其他 2 个球只能在编号为 3,4,5 的 3 个球7中取，故有 P(X2) ；C23C35 310当 X3 时，即取出的 3 个球中最小号码为 3，则其他 2 个球只能是编号为 4,5 的 2 个球，故有 P(X3
11、) .C2C35 110因此， X 的分布列为X 1 2 3P 35 310 110类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例 4 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人17从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中原有的白球的个数；(2)求随机变量 的分布列；(3)求甲取到白球的概率考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)设袋中原有 n 个白球，由题意知 ，17 C2nC
12、27nn 12762 nn 176可得 n3 或 n2(舍去)，即袋中原有 3 个白球(2)由题意， 的可能取值为 1,2,3,4,5.P( 1) ；37P( 2) ；4376 27P( 3) ；433765 635P( 4) ；43237654 335P( 5) .4321376543 1358所以 的分布列为 1 2 3 4 5P 37 27 635 335 135(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件 A，则 P(A) P( 1) P( 3) P( 5) .2235反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，
13、然后利用排列、组合与概率知识求出 取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出 的所有取值，二是求出 取每一个值时的概率跟踪训练 4 北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮数量 1 2 3 1 1从中随机地选取 5 只(1)求选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60分；以此类推，设 X 表示所得的分数，求 X 的分布列考点 离散型随机变量
14、分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率 P .C12C13C58 656 328(2)X 的取值为 100,80,60,40.P(X100) ，C12C13C58 328P(X80) ，C23C2C13 C12C23 C3C2 C23C58 3156P(X60) ，C13C2C23 C12C3 C23C3C58 1856 9289P(X40) .C2C3C58 156所以 X 的分布列为X 100 80 60 40P 328 3156 928 1561已知随机变量 X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 6 7 8
15、9 10P 23 232 233 234 235 236 237 238 239 m则 P(X10)等于( )A. B.239 2310C. D.139 1310考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 C解析 P(X10)1 .23 239 1392已知随机变量 X 的分布列如下表所示，其中 a， b， c 成等差数列，则 P(|X|1)等于( )X 1 0 1P a b cA. B.13 14C. D.12 23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用10题点 根据分布列的性质求概率答案 D解析 a， b， c 成等差数列，2 b a c.由分布列的性质得 a
16、b c3 b1， b .13 P(|X|1) P(X1) P(X1)1 P(X0)1 .13 233已知随机变量 X 的分布列如下表(其中 a 为常数)：X 0 1 2 3 4P 0.1 0.2 0.4 0.2 a则下列计算结果错误的是( )A a0.1B P(X2)0.7C P(X3)0.4D P(X1)0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 C解析 易得 a0.1， P(X3)0.3，故 C 错误4设 是一个离散型随机变量，其分布列为 1 0 1P 12 12 q q2则 P( 0)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率
17、答案 212解析 由分布列的性质，得 12 q0， q20，(12 q) q21，12所以 q1 ， q1 (舍去)22 2211P( 0) P( 1) P( 0) 12 .12 (1 22) 2 125将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数 的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 由题意知 i(i1,2,3,4,5,6)，则 P( 1) ；1C16C16 136P( 2) ；3C16C16 336 112P( 3) ；5C16C16 536P( 4) ；7C16C16 736P( 5) ；9C16C16 936 14P( 6) .11C16C16 1136所以抛
18、掷两次掷出的最大点数构成的分布列为 1 2 3 4 5 6P 136 112 536 736 14 11361离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和一、选择题1设随机变量 X 等可能取值 1,2,3， n，如果 P(X4)0.3，那么( )A n3 B n4C n10 D n9考点 离散型随机变量分布列的性质及应用12题点 由分布列的性质求参数答案 C解析 由题意知 P(X4)3 P(X1)0.3， P(X
19、1)0.1，又 nP(X1)1， n10.2若随机变量 的分布列如下： 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当 P( x)0.8 时，实数 x 的取值范围是( )A x1 B1 x2C1 x2 D1 x2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 由分布列的性质求参数答案 C解析 由分布列知，P( 2) P( 1) P( 0) P( 1)0.10.20.20.30.8， P( 2)0.8，故 1x2.3若随机变量 X 的概率分布列为 P(X n) (n 1,2，3,4)，其中 a 是常数，则 Pann 1的值为( )(12X52)A. B. C. D.23
20、 34 45 56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 D解析 P(X1) P(X2) P(X3) P(X4) a 1， a .(115) 54 P P(X1) P(X2) a .(12X52) a12 a23 (1 13) 54 23 564随机变量 的分布列如下： 0 1 2P a b c13其中 a， b， c 成等差数列，则函数 f(x) x22 x 有且只有一个零点的概率为( )A. B. C. D.16 13 12 56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 B解析 由题意知Error!解得 b .13 f(x) x
21、22 x 有且只有一个零点， 44 0，解得 1， P( 1) .135设离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m若随机变量 Y X2，则 P(Y2)等于( )A0.3 B0.4 C0.6 D0.7考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 A解析 由 0.20.10.10.3 m1，得 m0.3.又 P(Y2) P(X4)0.3.6抛掷 2 枚骰子，所得点数之和 X 是一个随机变量，则 P(X4)等于( )A. B. C. D.16 13 12 23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率
22、答案 A解析 根据题意，有 P(X4) P(X2) P(X3) P(X4)抛掷两枚骰子，按所得的点数共 36 个基本事件，而 X2 对应(1,1)， X3 对应(1,2)，(2,1)， X4 对应(1,3)，(3,1)，(2,2)故 P(X2) ， P(X3) ， P(X4) ，所以 P(X4) .136 236 118 336 112 136 118 112 167已知随机变量 只能取三个值 x1， x2， x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公14差的取值范围是( )A. B.0，13 13， 13C3,3 D0,1考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求参数答
23、案 B解析 设随机变量 取 x1， x2， x3的概率分别为 a d， a， a d，则由分布列的性质，得(a d) a( a d)1，故 a .由Error!解得 d .13 13 13二、填空题8一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量 ，则 P _.(13 53)考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 47解析 设二级品有 k 个，则一级品有 2k 个，三级品有 个，总数为 k 个 的分布列为k2 72 1 2 3P 47 27 17 P P( 1) .(13 53) 479由
24、于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：X 1 2 3 4 5 6P 0.20 0.10 0.5 0.10 0.1 0.20根据该表可知 X 取奇数值时的概率是_考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得 P(X3)0.25， P(X5)0.15，故 X15取奇数值时的概率为 P(X1) P(X3) P(X5)0.200.250.150.6.10把 3 枚骰子全部掷出，设出现 6 点的骰子个数是 X，则有 P(X2)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概
25、率答案 2527解析 P(X2) P(X0) P(X1) .5363 C135263 252711将 3 个小球任意地放入 4 个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为 X，则 X 的分布列是_考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列答案 X 1 2 3P 38 916 116解析 由题意知 X1,2,3.P(X1) ；A3443 38P(X2) ；C23A2443 916P(X3) .A1443 116 X 的分布列为X 1 2 3P 38 916 116三、解答题12设 S 是不等式 x2 x60 的解集，整数 m， n S.(1)设“使得 m n0 成立的有序数组( m
26、， n)”为事件 A，试列举事件 A 包含的基本事件；(2)设 m2，求 的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)由 x2 x60，16得2 x3，即 S x|2 x3由于 m， nZ， m， n S 且 m n0，所以事件 A 包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于 m 的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以 m2的所有不同取值为 0,1,4,9，且有P( 0) ，16P( 1) ，26 13P( 4) ，26 13P( 9) .16故 的分布列为 0 1 4 9P 16 13 13 1613将一枚骰子掷
27、两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为 X，求 X 的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差 X 的可能取值为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5，则 P(X5) ，136P(X4) ，236 118，P(X5) .136故 X 的分布列为X 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5P 136 118 112 19 536 16 536 19 112 118 13617四、探究与拓展14袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中任取 4 个球，取到 1 个红球得 1 分，取到 1 个黑球得 3 分，记得分为随机变
28、量 ，则 P( 6)_.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用答案 1335解析 取出的 4 个球中红球的个数可能为 4,3,2,1，相应的黑球个数为 0,1,2,3，其得分 4,6,8,10，则 P( 6) P( 4) P( 6) .C4C03C47 C34C13C47 133515在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值 X 的分布列，并求出 P(5 X25)的值考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)该顾客中奖的概率 P1 1 .C26C210 13 23(2)X 的可能取值为 0,10,20,50,60.P(X0) ，C26C210 13P(X10) ，C13C16C210 25P(X20) ，C23C210 115P(X50) ，C1C16C210 215P(X60) .C1C13C210 115故随机变量 X 的分布列为X 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 11518所以 P(5 X25) P(X10) P(X20) .25 115 715
