1、12.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和Y， X 和 Y 的分布列如下：X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 210思考 1 试求 E(X)， E(Y)答案 E(X)0 1 2 ，610 110 310 710E(Y)0 1 2 .510 310
2、210 710思考 2 能否由 E(X)与 E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？答案 不能，因为 E(X) E(Y)2思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？答案 方差梳理 (1)方差及标准差的定义设离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn方差： D(X) (xi E(X)2pi；ni 1标准差： .DX(2)方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小(3)方差的性质： D(aX b) a2D(X)知识点二 两点分布与二项分布的方差X X
3、服从两点分布 X B(n， p)D(X) p(1 p)(其中 p 为成功概率) np(1 p)1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( )2若 a 是常数，则 D(a)0.( )3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度( )类型一 求随机变量的方差与标准差例 1 已知 X 的分布列如下：X 1 0 1P 12 14 a(1)求 X2的分布列；(2)计算 X 的方差；(3)若 Y4 X3，求 Y 的均值和方差3考点 离散型随机变量方差的性质题点 方差性质的应用解 (1)由分布列的性质，知 a1，故 a ，12 14 14从而 X2的分布列为X2 0 1P 14 34(2)方法
4、一 由(1)知 a ，14所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 .12 14 14 14故 X 的方差 D(X) 2 2 2 .( 114) 12 (0 14) 14 (1 14) 14 1116方法二 由(1)知 a ，所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 ，14 12 14 14 14X2的均值 E(X2)0 1 ，所以 X 的方差 D(X) E(X2) E(X)2 .14 34 34 1116(3)因为 Y4 X3，所以 E(Y)4 E(X)32， D(Y)4 2D(X)11.反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的均值比较好计算的情况下，
5、运用关系式 D(X) E(X2) E(X)2不失为一种比较实用的方法另外注意方差性质的应用，如 D(aX b) a2D(X)跟踪训练 1 已知 的分布列为 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 115(1)求方差及标准差；(2)设 Y2 E( )，求 D(Y)考点 离散型随机变量方差的性质题点 方差性质的应用解 (1) E( )0 10 20 50 60 16，13 25 115 215 115 D( )(016) 2 (1016) 2 (2016) 2 (5016) 2 (6016)13 25 115 2152 384，1154 8 .D 6(2) Y2 E( )， D(
6、Y) D(2 E( )2 2D( )43841 536.类型二 两点分布与二项分布的方差例 2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，均值 E( )为 3，标准差 为 .D 62(1)求 n 和 p 的值，并写出 的分布列；(2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差解 由题意知， B(n， p)， P( k)C pk(1 p)n k， k0,1， n.kn(1)由 E( ) np3， D( ) np
7、(1 p) ，32得 1 p ，从而 n6， p .12 12 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6P 164 332 1564 516 1564 332 164(2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A) P( 3)，得 P(A) ，或 P(A)1 P( 3)1 ，所以需要补164 332 1564 516 2132 (1564 332 164) 2132种沙柳的概率为 .2132反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量 服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若 服从两点分布，则 D( ) p(1 p)；若 服从二项分布，即 B(n， p)，则 D( ) np(1 p)跟踪训练 2
8、 某厂一批产品的合格率是 98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差解 (1)用 表示抽得的正品数，则 0,1.5 服从两点分布，且 P( 0)0.02， P( 1)0.98，所以 D( ) p(1 p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用 X 表示抽得的正品数，则 X B(10,0.98)，所以 D(X)100.980.020.196，标准差为 0.44.DX类型三 方差的实际应用例 3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试已
9、知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ， ，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a， a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2.(1)求 ， 的分布列；(2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)依据题意知，0.53 a a0.11，解得 a0.1.乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2，乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. ， 的分布列分别
10、为 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)结合(1)中 ， 的分布列，可得E( )100.590.380.170.19.2，E( )100.390.380.270.28.7，D( )(109.2) 20.5(99.2) 20.3(89.2) 20.1(79.2) 20.10.96，D( )(108.7) 20.3(98.7) 20.3(88.7) 20.2(78.7) 20.21.21. E( )E( )，说明甲平均射中的环数比乙高又 D( )D( )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事
11、件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定1已知随机变量 X 的分布列为X 1 0 1P 12 13 16则下列式子： E(X) ； D(X) ； P(X0) .其中正确的个数是( )13 2327 13A0 B17C2 D3考点 离散型随机变量方差、标准差的概念与计算题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算答案 C解析 由分布列可知， E(X)(1) 0 1 ，故正确； D(X)12 13 16 13 2 2 2 ，故不正确， 显然正确( 113) 12 (0 13) 13 (1 13) 16 592有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本均值 E(X
12、 甲 ) E(X 乙 )，方差分别为 D(X 甲 )11， D(X 乙 )3.4.由此可以估计( )A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用答案 B3同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为 ，则 D( )等于( )A. B. C. D5158 154 52考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差答案 A解析 抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为 P ，12 12 14则易知满足 B ， n10， p ，(10，14
13、) 14则 D( ) np(1 p)10 .14 (1 14) 1584已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)0， D(X)1，则a_， b_.X 1 0 1 2P a b c 1128考点 离散型随机变量方差的性质题点 方差性质的应用答案 512 14解析 由题意知Error!解得Error!5编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是 ，求 E( )和 D( )考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差解 的所有可能取值为 0,1,3， 0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编
14、号为1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生，则 P( 0) ；2A3 13 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了，则 P( 1) ；C13A3 12 3 表示三位同学全坐对了，即对号入座，则 P( 3) .1A3 16所以 的分布列为 0 1 3P 13 12 16E( )0 1 3 1.13 12 16D( ) (01) 2 (11) 2 (31) 21.13 12 161随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差 D(X)或标准差 越小，则随机变量取值偏DX离均值的平均程度越小；方差
15、D(X)或标准差 越大，表明偏离的平均程度越大，说明 XDX的取值越分散2求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值(2)求 X 取每一个值的概率9(3)写出随机变量 X 的分布列(4)由均值、方差的定义求 E(X)， D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算 E(X)和 D(X)一、选择题1设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P(A) m，令随机变量 Error!则 的方差 D( )A等于( )A m B2 m(1 m)C m(m1) D m(1 m)考点 三种常用分布的方差题点 两点分布的方差答案 D解析 随机变
16、量 的分布列为 0 1P 1 m m所以 E( )0(1 m)1 m m.所以 D( )(0 m)2(1 m)(1 m)2m m(1 m)2牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ，则 D( )等于( )A0.2 B0.8 C0.196 D0.804考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差答案 C3设随机变量 的分布列为 P( k)C k n k， k0,1,2， n，且 E( )kn(23) (13)24，则 D( )的值为( )A. B8 C12 D1629考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差答案 B10解析
17、 由题意可知 B ，(n，23)所以 n E( )24.所以 n36.23所以 D( ) n 368.23 (1 23) 294若数据 x1， x2， xn的平均数为 6，标准差为 2，则数据 2x16,2 x26，2 xn6的平均数与方差分别为( )A6,8 B12,8 C6,16 D12,16考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差答案 C5由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为X1(甲得分) 0 1 2P(X1 xi) 0.2 0.5 0.3X2(乙得分) 0 1 2P(X2 xi) 0.3 0.3 0.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？( )A甲 B乙
18、C甲、乙均可 D无法确定考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用答案 A解析 E(X1) E(X2)1.1， D(X1)1.1 20.20.1 20.50.9 20.30.49， D(X2)1.1 20.30.1 20.30.9 20.40.69， D(X1)D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好6已知随机变量 的分布列如下： m nP 13 a11若 E( )2，则 D( )的最小值等于( )A. B2 C1 D012考点 离散型随机变量方差的性质题点 方差性质的应用答案 D解析 由题意得 a1 ，所以 E( ) m n2，即 m2 n6.又 D( ) (m2)13 23
19、 13 23 132 (n2) 22( n2) 2，所以当 n2 时， D( )取最小值为 0.237某同学上学路上要经过 3 个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 ，且在各路口是否遇13到红灯是相互独立的，记 X 为遇到红灯的次数，若 Y3 X5，则 Y 的标准差为( )A. B3 C. D26 3考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差答案 A解析 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成 3 次独立重复试验，即 X B ，则 X 的方差 D(X)3 ，所以 Y 的方差 D(Y)3 2D(X)(3，13) 13 (1 13) 239 6，所以 Y 的标准差为 .23
20、DY 68已知随机变量 X Y8，若 X B(10,0.6)，则 E(Y)， D(Y)分别是( )A6 和 2.4 B2 和 2.4C2 和 5.6 D6 和 5.6考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差答案 B解析 因为 X Y8，所以 Y8 X.因此，求得 E(Y)8 E(X)8100.62，D(Y)(1) 2D(X)100.60.42.4.二、填空题9随机变量 的分布列如下： 1 0 1P a b c12其中 a， b， c 成等差数列，若 E( ) ，则 D( )_.13考点 离散型随机变量方差的性质题点 方差性质的应用答案 59解析 由题意得Error!解得 a ， b ， c
21、 ，故 D( ) .16 13 12 5910设随机变量 B(2， p)， B(4， p)，若 P( 1) ，则 D( )_.59考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差答案 89解析 由随机变量 B(2， p)，且 P( 1) ，得 P( 1)1 P( 0)591C (1 p)2 ，易得 p .由 B(4， p)，得随机变量 的方差 D( )4 0259 13 13 .(113) 8911有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，若从中随机抽出 3 张，设这 3 张卡片上的数字和为 X，则 D(X)_.考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差答案 3.
22、36解析 由题意得，随机变量 X 的可能取值为 6,9,12.P(X6) ，C38C310 715P(X9) ，C28C12C310 715P(X12) ，C18C2C310 115则 E(X)6 9 12 7.8，715 715 115D(X) (67.8) 2 (97.8) 2 (127.8) 23.36.715 715 11513三、解答题12为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了 6 个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛决赛通过随机抽签方式决定出场顺序求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为 X，求 X 的均值
23、和方差考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件 A，则 P(A) .A2A4A6 115所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为 .115(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.P(X0) ，A2A5A6 13P(X1) ，4A2A4A6 415P(X2) ，A24A2A3A6 15P(X3) ，A34A2A2A6 215P(X4) .A4A2A6 115随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 13 415 15 215 115因此， E(X)0 1 2 3 4 .13 415 15 215 115 43D(X
24、) 2 2 2 2 2 .13 (0 43) 415 (1 43) 15 (2 43) 215 (3 43) 115 (4 43) 14913有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： A 110 120 125 130 135P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 B 100 115 125 130 14514P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中， A， B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于 120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差解 E( A)1100.
25、11200.21250.41300.11350.2125，E( B)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D( A)0.1(110125) 20.2(120125) 20.4(125125) 20.1(130125)20.2(135125) 250，D( B)0.1(100125) 20.2(115125) 20.4(125125) 20.1(130125)20.2(145125) 2165，由此可见， E( A) E( B)， D( A)D( B)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好四、探究与拓展14根据以往的经验，某
26、工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.降水量 X X300 300 X700 700 X900 X900工期延误天数 Y 0 2 6 10若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数 Y 的方差为_考点 均值、方差的综合应用题点 求随机变量的均值与方差答案 9.8解析 由已知条件和概率的加法公式知， P(X300)0.3， P(300 X700) P(X700) P(X300)0.70.30.4，P(700 X900) P(X900) P(X700)0.90.70.2，P(X900)1 P
27、(X900)10.90.1.所以随机变量 Y 的分布列为Y 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1故 E(Y)00.320.460.2100.13；15D(Y)(03) 20.3(23) 20.4(63) 20.2(103) 20.19.8.故工期延误天数 Y 的方差为 9.8.15一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于
28、100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，均值E(X)及方差 D(X)考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差解 (1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个” ， A2表示事件“日销售量低于 50 个” ， B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天的日销售量不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于50 个” 因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X 可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C (10.6) 30.064，03P(X1)C 0.6(10.6) 20.288，13P(X2)C 0.62(10.6)0.432，23P(X3)C 0.630.216，3则 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为 X B(3,0.6)，所以均值 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.
