1、12.4 正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间( ， ，( 2 ， 2 ，( 3 ， 3 的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题知识点一 正态曲线思考 函数 f(x)2()ex， xR 的图象如图所示试确定函数 f(x)的解析式12 答案 由图可知，该曲线关于直线 x72 对称，最大值为 ，由函数表达式可知，函1102数图象的对称轴为 x ， 72，且 ， 10.12 1102 f(x)(7)ex(xR)1102梳理 (1)正态曲线函数 ， (x)2()ex， x(，)，其中实数 ， ( 0)为参数，我们12 称 ， (
2、x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2(2)正态曲线的性质曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值 ；1 2曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖” ，总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高” ，总体的分布越集中，如图乙所示：知识点二 正态分布一般地，如果对于任何实数 a， b(a5)考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算解 因为 X N(1,22)，所以 1， 2.(1)P(15) P(X3)
3、 1 P(3c1) P(Xc1) P(X a)(2)“3 ”法：利用 X 落在区间( ， ，( 2 ， 2 ，( 3 ， 3 内的概率分别是 0.682 6,0.954 4,0.997 4 求解5跟踪训练 2 已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，且 P( 0)和 N( 2， )( 20)的密度函数图象如图所示，21 2则有( )A 1 2C 1 2， 1 2， 1 2考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线答案 A解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线 x 对称，在 x 处取得最大值的连续曲线：当 一定时， 越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来， 越小，曲线的最高点越
4、高且较陡峭故选 A.2正态分布 N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为 P1， P2，则二者大小关系为( )A P1 P2 B P1 P2C P1 P2 D不确定考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线性质的应用答案 A解析 根据正态曲线的特点，图象关于 x0 对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率 P1， P2相等3设随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，且二次方程 x24 x 0 无实数根的概率为，则 等于( )12A1 B27C4 D不能确定考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 C解析 因为方程 x24 x 0 无实数根的概率为 ，由
5、 164 4，即12P( 4) 1 P( 4)，故 P( 4) ，所以 4.12 124已知服从正态分布 N( ， 2)的随机变量在区间( ， ，( 2 ， 2 和( 3 ， 3 内取值的概率分别为 68.26%,95.44%和 99.74%.若某校高一年级 1 000 名学生的某次考试成绩 X 服从正态分布 N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120内的学生大约有( )A997 人 B972 人 C954 人 D683 人考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 依题意可知 90， 15，故 P(60c1) P(Xc1) P(X a)，若 b0)， P( 4)0.
6、84，则 P( 0)等于( )A0.16 B0.32C0.68 D0.84考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 A解析 随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， 2， P( 4)0.84， P( 4)10.840.16， P( 0) P( 4)0.16.3已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6内的概率为( )(附：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则P( P(Y t)D对任意正数 t， P(X t)P(Y t)考点 正态分布密度函数的概念10题点 正态曲线答案 C解析 由题图可知 1P(X 1)，
7、故 B 错；当 t 为任意正数时，由题图可知 P(X t)P(Y t)，而 P(X t)1 P(X t)， P(Y t)1 P(Y t)， P(X t)96)，所以 P(X64) (10.954 4)12 0.045 60.022 8.12所以 P(X64)0.977 2.13又 P(X72) 1 P(7272)0.841 3，P(6464) P(X72)0.135 9.13某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间 X(分钟)服从正态分布 N(5,1)；第二条路线较长不拥挤， X 服从正态分布 N(6,0.16)若有一天他出发时离点名时间还有 7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还
8、有 6.5 分钟，问他应选哪一条路线？考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有 7 分钟时：若选第一条路线，即 X N(5,1)，能及时到达的概率P1 P(X7) P(X5) P(5X7) P( 2 X 2 )12 12若选第二条路线，即 X N(6,0.16)，能及时到达的概率P2 P(X7) P(X6) P(6X7) P( 2.5 X 2.5 )12 12因为 P1P2，所以应选第二条路线同理，还有 6.5 分钟时，应选第一条路线四、探究与拓展14为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他
9、们的体重 X(kg)服从正态分布 N( ，2 2)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这1 000 名男生中属于正常情况的人数约为 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用14答案 683解析 依题意可知， 60.5， 2，故 P(58.5X62.5) P( X )0.682 6，从而属于正常情况的人数为 1 0000.682 6683.15从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该
10、组区间的x中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近似为样本方差 s2.x利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2的产品件数，利用的结果，求 E(X)(附： 12.2)150考点 正态分布的应用题点 正态分布的综合应用解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x200，s2(30) 20.02(20) 20.09(10)20.2200.3310 20.2420 20.0830 20.02150.(2)由(1)知， Z N(200,150)，从而 P(187.8Z212.2) P(20012.2 Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2的概率为 0.682 6，依题意知X B(100,0.682 6)，所以 E(X)1000.682 668.26.
