1、1第四讲 用数学归纳法证明不等式测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.用数学归纳法证明 3n n3(n3, nN)第一步应验证 ( )A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=4解析 由 n3, nN 知,应验证 n=3.答案 C2.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=2n2+n(nN +)的第(2)步中,假设当 n=k 时原等式成立,则在 n=k+1 时需要证明的等式为( )A.1+2+3+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)B.1+2+3+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)C.
2、1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)D.1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)解析 用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=2n2+n 时,2当 n=1 时左边所得的项是 1+2=3,右边 =212+1=3,命题成立 .假设当 n=k 时命题成立,即 1+2+3+2k=2k2+k.则当 n=k+1 时,左边为 1+2+3+2k+2k+1+2(k+1),故从“ k k+1”需增添的项是 2k+1+2(k+1),因此 1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).答案 D3.记等式 1n+2(n-1)
3、+3(n-2)+n1= n(n+1)(n+2)左边的式子为 f(n),用数学归纳法证明16该等式的第二步归纳递推时,即当 n 从 k 变为 k+1 时,等式左边的改变量 f(k+1)-f(k)=( )A.k+1 B.1(k+1)+(k+1)1C.1+2+3+k D.1+2+3+k+(k+1)解析 依题意, f(k)=1k+2(k-1)+3(k-2)+k1,则 f(k+1)=1(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+k2+(k+1)1,f (k+1)-f(k)=1(k+1)-k+2k-(k-1)+3(k-1)-(k-2)+4(k-2)-(k-3)+k(2-1)+(k+1)1=1+2+3+k
4、+(k+1).答案 D4.用数学归纳法证明“ n3+(n+1)3+(n+2)3(nN +)能被 9 整除”,要利用归纳假设证当 n=k+1 时的情况,只需展开( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3解析 当 n=k+1 时,证明“( k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被 9 整除”,根据归纳假设,当 n=k 时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除”,所以只需展开( k+3)3.答案 A35.用数学归纳法证明 2n n2(n5, nN +)成立时,第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设当 n=k 时命题成立B.假设当 n=
5、k(kN +)时命题成立C.假设当 n=k(k5)时命题成立D.假设当 n=k(k5)时命题成立解析 由数学归纳法的步骤可知,选项 C 正确 .答案 C6.用数学归纳法证明“ Sn= + 1(nN +)”时, S1等于( )1+1+ 1+2+ 1+3 13+1A. B.12 14C. D.12+13 12+13+14解析 当 n=1 时, S1= .11+1+ 11+2+ 131+1=12+13+14答案 D7.已知在数列 an中, a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(nN +),用数学归纳法证明 a4n能被 4 整除,假设 a4k能被 4 整除,然后应该证明( )A.a4k+1能
6、被 4 整除 B.a4k+2能被 4 整除C.a4k+3能被 4 整除 D.a4k+4能被 4 整除解析 由假设 a4k能被 4 整除,则当 n=k+1 时,应该证明 a4(k+1)=a4k+4能被 4 整除 .答案 D8.设 012 1+2n=k+1 时,应推证的目标是 . 解析 注意不等式两边含变量“ n”的式子,因此当 n=k+1 时,应该是含“ n”的式子发生变化,所以当n=k+1 时,应为 + .122+132 1(+1)2+ 1(+2)212 1(+1)+2答案 +122+132+142 1(+2)212 1+316. 导学号 26394070 设 a,b 均为正实数, nN +,
7、已知 M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则 M,N 的大小关系为 . 解析 由贝努利不等式(1 +x)n1+nx(x-1,且 x0, n1,nN +),可知当 n1 时,令 x= ,所以 1+n , (1+) 所以 1+n ,即( a+b)nan+nan-1b.(+ ) 当 n=1 时, M=N,故 M N.答案 M N三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)用数学归纳法证明:1 2-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN +).7证明 (1)当 n=1 时,左边 =12-22=-3,右边 =-1(21+1)=-3,等式
8、成立 .(2)假设当 n=k(kN +,k1)时等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).当 n=k+1 时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,即当 n=k+1 时,等式成立 .由(1)(2)可知,对任何 nN +,等式成立 .18.(本小题满分 12 分)求证:两个连续正整数的积能被 2 整除 .证明 设 nN +,则要证明 n(n+1)能被 2 整除 .(1)当 n=1 时,1
9、 (1+1)=2,能被 2 整除,即命题成立 .(2)假设 n=k(k1)时命题成立,即 k(k+1)能被 2 整除 .当 n=k+1 时,( k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由归纳假设 k(k+1)及 2(k+1)都能被 2 整除,所以( k+1)(k+2)能被 2 整除,故当 n=k+1 时命题成立 .由(1)(2)可知,命题对一切 nN +都成立 .819.(本小题满分 12 分)设函数 fn(x)= x+ x2+ xn-2(nN, n2),当 x-1,且 x0 时,证2+3 4 明: fn(x)0 恒成立 . (x+1)n= x0+ x+ x2
10、+ xn,( 0 1 2 ,m,nN +,且 n m=(-1)(-2)(-+1)(-1)21 )证明 要证 fn(x)0 恒成立,因为 x-1,且 x0,所以只需证 x+ x2+ xn1+nx,0+1 2 即证(1 +x)n1+nx.(1)当 n=2 时,不等式成立 .(2)假设当 n=k(k2)时不等式成立,即(1 +x)k1+kx.当 n=k+1 时,有(1 +x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即当 n=k+1 时不等式成立 .由(1)(2)可知,对任意 nN, n2,(1 +x)n1+nx 成立,即 fn(x)0 恒成立
11、.20.(本小题满分 12 分)已知点的序列 An(xn,0),nN +,其中 x1=0,x2=a(a0),A3是线段 A1A2的中点,A4是线段 A2A3的中点, An是线段 An-2An-1的中点, .(1)写出 xn与 xn-1,xn-2之间的关系式( n3);(2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列 an的通项公式,并加以证明 .解 (1)当 n3 时, xn= .-1+-22(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2= -x22+12=- (x2-x1)=- a,12 12a3=x4-x3= -x33+229=- (x3-x2)=- a.12 12(-1
12、2)=14由此推测 an= a(nN +).(-12)-1用数学归纳法证明: 当 n=1 时, a1=x2-x1=a= a,通项公式成立 .(-12)0 假设当 n=k 时, ak= a 成立 .(-12)-1当 n=k+1 时,ak+1=xk+2-xk+1= -xk+1+1+2=- (xk+1-xk)=- ak=- a12 12 12(-12)-1= a,通项公式成立 .(-12)(+1)-1由 知, an= a(nN +)成立 .(-12)-121. 导学号 26394071(本小题满分 12 分)求证:tan tan 2+ tan 2 tan 3+ +tan(n-1) tan n= -n
13、(n2, nN +).证明 (1)当 n=2 时,左边 =tan tan 2 ,右边 = -2= -2= -2=2 21-2 1 21-2=tan tan 2= 左边,等式成立 .221-2=21-2(2)假设当 n=k(k2)时等式成立,即 tan tan 2+ tan 2 tan 3+ +tan(k-1) tan k= -k.10当 n=k+1 时,tan tan 2+ tan 2 tan 3+ +tan(k-1) tan k+ tan k tan(k+1)= -k+tan k tan(k+1)= -k1+(+1)= 1+tan(k+1) tan -k1(+1)-1+(+1)= tan(k+1) -tan -k1= -(k+1),(+1)所以当 n=k+1 时等式成立 .由(1)和(2)知,当 n2, nN +时等式恒成立 .22. 导学号 26394072(本小题满分 12 分)设 xn是由 x1=2,xn+1= (nN +)定义的2+1数列,求证 xn2 .2+121=2xn 显然成立 .2下面用数学归纳法证明 xn 12+1x k , .2122x k+1= .即 xk+1 .2+122+12+22=2+122+ 1+1 2+ 1+1 当 n=k+1 时,不等式 xn 成立 .2+1由(1)(2)可知, xn 对一切 nN +都成立 .2+1
