1、12 单摆学习目标 1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素，会用周期公式计算周期和摆长.一、单摆的简谐运动1.单摆：忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是理想化模型.2.单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.(2)回复力的大小：在偏角很小时， F x.mgl3.单摆的运动特点小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆在偏角很小时的振动是简谐运动.二、单摆做简谐运动的周期1.单摆做简谐运动的周期 T 跟摆长 l
2、的二次方根成正比，跟重力加速度 g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关.2.单摆的周期公式： T2 .lg即学即用1.判断下列说法的正误.(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.( )(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.( )(3)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.( )(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.( )2.一个理想的单摆，已知其周期为 T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的 2 倍，振幅变为原来的 3 倍，摆长变为原来的 8 倍，摆球质量变为原来的 2 倍，则它的周期变为_.2答案 2 T一、单摆及单摆的回复力导学探究 (1
3、)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？答案 (1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力.(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.知识深化 单摆的回复力(1)单摆受力：如图 1 所示，受细线拉力和重力作用.图 1(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力 F mgsin 提供了使摆球振动的回复力.(4)回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足 F kx，此时
4、摆球的运动可看成是简谐运动.例 1 图 2 中 O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的 A、 C 之间来回摆动， B 点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )图 23A.摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，合力也为零B.摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，回复力也为零C.摆球在 B 点处，速度最大，回复力也最大D.摆球在 B 点处，速度最大，细线拉力也最大答案 D解析 摆球在摆动过程中，最高点 A、 C 处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B 处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大.单摆的回复力是重力在切
5、线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力.二、单摆的周期导学探究 单摆的周期公式为 T2 .lg(1)单摆的摆长 l 等于悬线的长度吗？(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？答案 (1)不等于.单摆的摆长 l 等于悬线的长度与摆球的半径之和.(2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度 g 有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.知识深化 单摆的周期(1)伽利略发现了单摆运动
6、的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.(2)单摆的周期公式： T2 .lg(3)对周期公式的理解单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角小于 5时，由周期公式算出的周期和准确值相差不超过万分之五).公式中 l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离 l l 线 r 球.公式中 g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.周期 T 只与 l 和 g 有关，与摆球质量 m 及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.4例 2 如图 3 所示，单摆的周期为 T，则下列说法正确的是( )图 3A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变短B.把摆角 变小，其他条件不变，则单摆的周期
7、变短C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长D.将单摆摆长增加为原来的 2 倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为 2T答案 C解析 根据单摆的周期公式 T2 知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来lg的 2 倍，周期变为原来的 倍，故 A、B、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的2重力加速度，由周期公式 T2 知，将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，Clg正确.例 3 如图 4 所示，三根细线在 O 点处打结， A、 B 端固定在同一水平面上相距为 l 的两点上，使 AOB 成直角三角形， BAO30，已知 OC 线长也是 l，下端 C 点系着一个小球
8、(球的大小忽略不计)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为 g)( )图 4A.让小球在纸面内振动，周期 T2lgB.让小球在垂直纸面内振动，周期 T23l2gC.让小球在纸面内振动，周期 T23l2gD.让小球在垂直纸面内振动，周期 T2lg答案 A5解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 l，周期T2 ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为( l l)，lg 34周期 T2 ，A 正确，B、C、D 错误.34 1lg例 4 如图 5 所示，光滑轨道的半径为 2m， C 点为圆心正下方的点， A、 B 两点与 C 点相距分别为 6
9、cm 与 2cm， a、 b 两小球分别从 A、 B 两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是( )图 5A.C 点 B.C 点右侧C.C 点左侧 D.不能确定答案 A解析 由于光滑轨道的半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项 A 正确.1.(对单摆回复力的理解)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是( )A.回复力为零，合力不为零，方向指向悬点B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线C.回复力就是合力D.回复力为零，合力也为零答案 A解析 单摆的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当
10、摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心).2.(单摆的周期公式)一单摆的摆长为 40cm，摆球在 t0 时刻正从平衡位置向右运动，若6g 取 10m/s2，则在 1s 时摆球的运动情况是( )A.正向左做减速运动，加速度正在增大B.正向左做加速运动，加速度正在减小C.正向右做减速运动，加速度正在增大D.正向右做加速运动，加速度正在减小答案 D解析 由 T2 ，代入数据得 T1.256s，则 1s 时，正处于第四个 T 内，由左侧最大lg 14位移向平衡位置运动，即向右做加速运动，加速度减小，D 正确.3.(单摆的周期公式)如图 6 所示，
11、MN 为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球 A 放在MN 的圆心处，再把另一小球 B 放在 MN 上离最低点 C 很近的一处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )图 6A.A 球先到达 C 点B.B 球先到达 C 点C.两球同时到达 C 点D.无法确定哪一个球先到达 C 点答案 A解析 A 球做自由落体运动，到达 C 点所需时间 tA ， R 为圆弧轨道的半径.因为圆弧2Rg轨道的半径 R 很大， B 球离最低点 C 又很近，所以 B 球可看做沿圆弧做简谐运动，等同于摆长为 R 的单摆，则运动到最低点 C 所用的时间是单摆振动周期的 ，即 tB tA，14 T4 2 Rg所以
12、A 球先到达 C 点.4.(单摆的周期公式)有一单摆，其摆长 l1.02m，摆球的质量 m0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆 30 次全振动所用的时间 t60.8s，试求：(1)当地的重力加速度约为多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为 2s)，摆长应怎样改变？改变约为多少？答案 (1)9.79m/s 2 (2)缩短 0.027m7解析 (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式 T2 ，由此可得 g .因为 T lg 4 2lT2 tns2.027 s，所以 g m/s29.79 m/s 2.60.830 4 2lT2 43.1421.022.0272(2)秒摆的周期是 2 s，设其摆长为
13、 l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有 ，故有： l0 m0.993 m.TT0 ll0 T02lT2 221.022.0272其摆长要缩短 l l l01.02 m0.993 m0.027 m.一、选择题考点一 单摆及单摆的回复力1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )A.摆线质量不计B.摆线不可伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动答案 ABC解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩.只有在摆角很小( 5)的情况下才能视单摆运动为简谐运动.故正确答案为A、B、
14、C.2.关于单摆，下列说法中正确的是( )A.摆球运动的回复力是它受到的合力B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度为零答案 B解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错误；摆球经过最低点时，回复力为 0，但合力提供向心力，C、D 错误；由简谐运动特点知 B 正确.3.(多选)关于单摆的运动，下列说法中正确的是( )A.单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力8B.单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力C.摆球做匀速圆周运动D.单摆做简谐运动的条件是最大偏角很小，如小于 5答案 BD解析 单摆
15、的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以 A 错误，B 正确；单摆在摆动过程中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，C错误；在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，D 正确.4.单摆在振动过程中，当摆球的重力势能增大时，摆球的( )A.位移一定减小 B.回复力一定减小C.速度一定减小 D.加速度一定减小答案 C解析 当摆球的重力势能增大时，摆球的位移增大，回复力、加速度增大，速度减小，故C 正确.考点二 单摆的周期公式5.(多选)某单摆由 1m 长的摆线连接一个直径为 2cm 的铁球组成，关于单摆周期的下列说法正确的是( )A.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
16、B.用大球替代小球，单摆的周期不变C.摆角从 5改为 3，单摆的周期会变小D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小答案 AD解析 用等大的铜球替代铁球，摆长不变，由单摆周期公式 T2 可知，单摆的周期不lg变，故 A 正确；用大球替代小球，单摆摆长变长，单摆的周期变大，故 B 错误；在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从 5改为 3时，单摆周期不变，故 C错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度 g 变大，单摆周期变小，故 D 正确.6.如图 1 所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为 l，沙筒的质量为 m，沙子的质量为 M，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期( )9图 1A.不变B
17、.先变大后变小C.先变小后变大D.逐渐变大答案 B解析 在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故选 B.7.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的 倍，摆球经过平衡位置的94速度减为原来的 ，则单摆振动的( )23A.周期不变，振幅不变 B.周期不变，振幅变小C.周期改变，振幅不变 D.周期改变，振幅变大答案 B解析 由单摆的周期公式 T2 可知，当摆长 l 不变时，周期不变，故 C、D 错误；由lg能量守恒定律可知 mv2 mgh，其摆动的高度与质量无
18、关，因平衡位置的速度减小，则摆12动的最大高度减小，即振幅减小，选项 B 正确，A 错误.8.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图 2 所示，下列说法正确的是( )图 2A.当摆钟不准时需要调整圆盘位置10B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移答案 AC解析 调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的目的.若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即下移圆盘.由冬季变为夏季，摆杆由于热胀
19、冷缩变长，应上移圆盘.从广州到北京， g 值变大，周期变小，应增加摆长，下移圆盘.综上所述，选项 A、C 正确.9.(多选)图 3 中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球 A 在两摆球所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开，各自做简谐运动，以 mA、 mB分别表示摆球 A、 B 的质量，则( )图 3A.如果 mA mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果 mA mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧答案 CD解析 A、 B 两球碰撞后， B
20、 球一定向右摆， A 球可能向右摆，也可能向左摆，还可能停下来.由于两单摆摆长相同，因此摆动的周期相同，它们在第一次碰后半个周期回到平衡位置而发生第二次碰撞，C、D 正确.10.如图 4 所示，竖直平面内有一半径为 1.6m、长为 10cm 的光滑圆弧轨道，小球置于圆弧左端， t0 时刻起由静止释放， g10m/s 2， t2s 时小球正在( )图 4A.向右加速运动 B.向右减速运动C.向左加速运动 D.向左减速运动答案 D解析 将小球的运动等效成单摆运动，则小球的周期：11T2 2 s0.8s2.5s.Rg 1.610所以在 t2s T 时刻，小球在由最低点向左侧的运动过程中，所以是向左做
21、减速运动.45故 D 正确.二、非选择题11.(单摆的周期公式)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度.先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图 5 所示，从小球第 1 次通过图中的 B 点开始计时，第 21 次通过 B 点用时 30s；球在最低点 B 时，球心到窗上沿的距离为 1m，当地重力加速度 g 取 2m/s2；根据以上数据可得小球运动的周期 T_s；房顶到窗上沿的高度 h_m.图 5答案 3 3解析 n (211)10， T 3s，12
22、tnT (2 2 )，又 l1m，T12 T22 12 lg l hg解得 h3m.12.(单摆的周期公式)如图 6 所示，光滑的半球壳半径为 R， O 点在球心 O的正下方，一小球甲由距 O 点很近的 A 点由静止释放， RA.图 6(1)若另一小球乙从球心 O处自由落下，问两球第一次到达 O 点的时间比.12(2)若另一小球丙在 O 点正上方某处自由落下，为使丙球与甲球在 O 点相碰，丙球应由多高处自由落下？答案 (1) 4 (2) (n1,2,3，)22n 12 2R8解析 (1)小球甲沿圆弧做简谐运动，它第一次到达 O 点的时间为： t1 T 2 14 14 Rg 2.Rg小球乙做自由落体运动，设到达 O 点的时间为 t2.R gt22，所以 t2 ， t1 t2 4.12 2Rg 2(2)小球甲从 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为 t (2n1)， n1,2,3，由 O 点正T4上方自由落下的小球丙到达 O 点的时间也为 t 时两球才能在 O 点相碰，所以h gt2 g (2n1) 2 (n1,2,3， ).12 12 4 2R16g 2n 12 2R8
