1、13 简谐运动的图像和公式学习目标 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.一、简谐运动的图像1.图像的建立以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间 t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移 x.2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线.3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅.二、简谐运动的表达式及相位简谐运动的表达式 x Asin(t ).(1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移； t
2、表示振动的时间.(2)A 表示振幅.(3) 称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期 T 及频率 f 的关系： 2 f.2T所以表达式也可写成：x Asin 或 x Asin (2 ft ).(2Tt )(4)2 ft 代表简谐运动的相位；其中 是 t0 时的相位，称为初相位或初相.即学即用1.一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系曲线如图 1 所示，根据图像，判断下列说法的正误.2图 1(1)质点振动的频率是 4Hz.( )(2)质点振动的振幅是 2cm.( )(3)在 t3s 时，质点的速度最大.( )(4)在 t4s 时，质点所受的合外力为零.( )答案 (1)
3、 (2) (3) (4)2.有一弹簧振子，振幅为 0.8cm，周期为 0.5s，初始时( t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是 xm.答案 0.008sin (4 t ) 2一、简谐运动的图像导学探究1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 x t 图像：如图 2 所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线，乙同学沿 O O 方向水平向右匀速拖动白纸.图 2(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿 OO与垂直 OO方
4、向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？答案 (1)是一条垂直于 OO的直线.(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.3(3)垂直 O O 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿 OO方向的轴为时间轴 t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.2.绘制简谐运动的 x t 图像图 3如图 3 所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立 x 轴，垂直于振动方向建立 t 轴，则这些曲线就是漏斗的位移时间图
5、像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？答案 当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.知识深化1.对 x t 图像的理解x t 图像上的 x 坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹.2.图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图 4 所示，对应 t1、 t2时刻的位移分别为x17cm， x25cm.图 4(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是
6、10cm.(3)确定振动的周期和频率.由图可知， T0.2s，频率 f 5Hz.1T(4)确定各质点的振动方向.例如图中的 t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在 t34时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中 t1时刻质点位移 x1为正，则加速度a1为负， t2时刻质点位移 x2为负，则加速度 a2为正，又因为| x1| x2|，所以| a1| a2|.例 1 如图 5 所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则( )图 5A.振动的振幅为 6mB.振动的周期为 6sC.t1.5s 时和 t2.5s 时，振子的速度相同D.t2.5s 时，振子的加速度
7、正在减小，沿 x 轴的负方向答案 C解析 由题图知，振子运动的周期为 T4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅 A3cm，故 A、B 错误；在 t1.5s 时和 t2.5s 时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿 x 轴的负方向，故 C 正确；t2.5s 时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故 D 错误.针对训练 如图 6 甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以 O 点为平衡位置，在a、 b 两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知( )图 6A.振子的振动周期等于 t1B.在 t0 时刻
8、，振子的位置在 a 点C.在 t t1时刻，振子的速度为零D.从 t1到 t2，振子正从 O 点向 b 点运动5答案 D解析 振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T2 t1，故 A 错误；由题图乙知在 t0 时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在 O 点，故 B 错误；在 t t1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故 C 错误；从 t1到 t2，振子的位移从 0 变化到正向最大，说明振子正从 O 点向 b 点运动，故 D 正确.二、简谐运动的表达式及相位差导学探究1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两
9、个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案 它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致” ，相位相同，相位差为 0.2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案 它们各时刻的位移总是相反，相位差为 .3.图 7 是弹簧振子做简谐运动的 x t 图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.图 7答案 表达式 x Asin ( t )，式中 A 表示振幅， T 表示周期， 表示初相位.2T 0， x Asin t.2T知识深化1.简谐运动的表达式的理
10、解2.从表达式 x Asin (t )体会简谐运动的周期性.当 ( t 2 )( t 1 )62 n 时， t nT，振子位移相同，每经过周期 T 完成一次全振动.2n3.从表达式 x Asin (t )体会特殊点的值.当( t )等于 2n 时，sin 2(t )1，即 x A；当( t )等于 2n 时，sin (t )1，即32x A；当( t )等于 n 时，sin ( t )0，即 x0.例 2 (多选)一弹簧振子 A 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.1sin2.5 t，位移 x的单位为 m，时间 t 的单位为 s.则( )A.弹簧振子的振幅为 0.2mB.弹簧振子的周
11、期为 1.25sC.在 t0.2s 时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子 B 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.2sin ，则 A 滞后(2.5 t 4)B 4答案 CD解析 由振动方程 x0.1sin2.5 t，可读出振幅为 0.1m，圆频率 2.5rad/s，故周期 T s0.8s，故 A、B 错误；在 t0.2s 时，振子的位移最大，速度最小，2 22.5为零，故 C 正确；两振动的相位差 ，即 B 超前 A ，或者说 A 滞后 B ，D 正确. 4 4 4应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅 A、周期 T、频率 f 的对应关系，其中 T ， f ，然后把确定
12、的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.2 2例 3 如图 8 所示，一弹簧振子在 M、 N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点 O 为平衡位置， MN8cm.从小球经过图中 N 点时开始计时，到第一次经过 O 点的时间为 0.2s，则小球的振动周期为 s，振动方程为 xcm.图 8答案 0.8 4cos t52解析 从 N 点到 O 点刚好为 ，则有 0.2s，T4 T47故 T0.8s；由于 rad/s，而振幅为 4cm，2T 52从最大位移处开始振动，所以振动方程为 x4cos tcm.521.(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系图像如图 9 所示，由图可
13、知( )图 9A.质点振动的频率是 4Hz，振幅是 2cmB.质点经过 1s 通过的路程总是 2cmC.03s 内，质点通过的路程为 6cmD.t2s 时，质点的振幅为零答案 C解析 由题图可以直接看出振幅为 2cm，周期为 4s，所以频率为 0.25Hz，所以 A 错误；质点在 1s 即 个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以 B 错误；因为 t0 时质点在平14衡位置处，03s 为 T，质点通过的路程为 3A6cm，所以 C 正确；振幅等于质点偏离平34衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别， t2s 时，质点的位移为零，但振幅仍为 2cm，所以 D 错误.2.(简谐运动的图像)
14、(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图 10 所示，则可知( )图 10A.两弹簧振子完全相同B.振子的振动频率之比 f 甲 f 乙 128C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两弹簧振子所受回复力最大值之比 F 甲 F 乙 21答案 BC解析 由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A 错误；两弹簧振子振动周期之比 T 甲 T 乙 21，频率之比是 f 甲 f 乙 12，故 B 正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故 C 正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比 x 甲 x 乙 21，根据简谐运动的特征 F
15、kx，由于弹簧的劲度系数 k 可能不等，回复力最大值之比 F 甲 F 乙 不一定等于 21，故 D 错误.3.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按 x15sin (8 t ) cm 的14规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为 x25sin (8 t ) cm，求它们的相位差.54答案 (1) s 4Hz 5cm (2)14 4解析 (1)已知 8 rad/s，由 得 T s，2T 14f 4 Hz.由 x15sin (8 t ) cm 知 A5 cm，1T 14 1 4(2)由 ( t 2)( t 1) 2 1得 .54 494.(简谐运
16、动的表达式)如图 11 所示为 A、 B 两个简谐运动的位移时间图像.请根据图像回答：图 11(1)A 的振幅是 cm，周期是 s； B 的振幅是 cm，周期是 s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在 t0.05s 时两质点的位移分别是多少？答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8(2)xA0.5sin (5 t) cm， xB0.2sin cm(2.5 t 2)(3)xA cm， xB0.2sin cm24 58解析 (1)由题图知： A 的振幅是 0.5cm，周期是 0.4s； B 的振幅是 0.2cm，周期是 0.8s.(2)t0 时刻 A 中振动的质点从平衡位
17、置开始沿负方向振动， A，由 TA0.4s，得 A 5rad/s.则 A 简谐运动的表达式为 xA0.5sin (5 t) cm.t0 时刻 B 中2TA振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了 周期， B ，由 TB0.8s 得14 2 B 2.5rad/s，则 B 简谐运动的表达式为 xB0.2sin cm.2TB (2.5 t 2)(3)将 t0.05s 分别代入两个表达式中得： xA0.5sin (50.05) cm0.5cm cm， xB0.2sin cm0.2sin cm.22 24 (2.5 0.05 2) 58一、选择题考点一 简谐运动的图像1.如图 1 所示是某振子做简谐运动的图
18、像，以下说法中正确的是( )10图 1A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B.振动图像反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C.振子在 B 位置的位移就是曲线 BC 的长度D.振子运动到 B 点时的速度方向即为该点的切线方向答案 B2.(多选)如图 2 表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是( )图 2A.t1、 t2时刻的速度相同B.从 t1到 t2这段时间内，速度与位移同向C.从 t2到 t3这段时间内，速度变大，位移变小D.t1、 t3时刻的回复力方向相反答案 BC解析 t1时刻质点速度最大， t2时刻质点速度为零，故 A 错误； t
19、1到 t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度方向、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，则 B 正确；在 t2到 t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故 C 正确； t1和 t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故 D 错误.3.(多选)一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系图像如图 3 所示，由图可知( )图 3A.质点振动的频率是 4HzB.质点振动的振幅是 2cmC.t3s 时，质点的速度最大D.t3s 时，质点振动的振幅为零E.t3s 时，质点的动能最大11答案 BCE解析 由题图可以直接看出质点振动的振幅为 2cm，周期为 4s，所以频率为 0
20、.25Hz，所以选项 A 错误，B 正确. t3s 时，质点经过平衡位置，速度最大，动能最大，所以选项 C、E正确.振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t3s 时，质点的位移为零，但振幅仍为 2cm，所以选项 D 错误.4.如图 4 所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是( )图 4答案 D解析 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最
21、大位移，因此应选 D.5.(多选)一个质点经过平衡位置 O，在 A、 B 间做简谐运动，如图 5 甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图 5A.OB5cmB.第 0.2s 末质点的速度方向是 A O12C.第 0.4s 末质点的加速度方向是 A OD.第 0.7s 末质点的位置在 O 点与 A 点之间E.在 4s 内完成 5 次全振动答案 ACE解析 由题图乙可知振幅为 5cm，则 OB OA5cm，A 项正确；由题图可知 00.2s 内质点从 B 向 O 运动，第 0.2s 末质点的速度方向是 B O，B 项错误；由题图可知第 0.4s 末质点运动到 A 点
22、处，则此时质点的加速度方向是 A O，C 项正确；由题图可知第 0.7s 末质点位置在 O 点与 B 点之间，D 项错误；由题图乙可知周期 T0.8s，则在 4s 内完成全振动的次数为 5，E 项正确.4s0.8s6.(多选)如图 6 所示为甲、乙两单摆的振动图像，则( )图 6A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为 l 甲 l 乙 21B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为 l 甲 l 乙 41C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为 g 甲 g 乙 41D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上
23、摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为 g 甲 g 乙 14答案 BD解析 由题图可知 T 甲 T 乙 21，由公式 T2 可知：若两单摆在同一地点，则两lg单摆摆长之比为 l 甲 l 乙 41，故 A 错误，B 正确；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为 g 甲 g 乙 14，故 C 错误，D 正确.考点二 简谐运动的表达式7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x Asin t，则质点( ) 4A.第 1s 末与第 3s 末的位移相同B.第 1s 末与第 3s 末的速度相同C.第 3s 末与第 5s 末的位移方向相同13D.第 3s 末与第 5s 末的速
24、度方向相同答案 AD解析 根据 x Asin t 可求得该质点振动周期为 T8s，则该质点振动图像如图所示，图 4像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第 1s 末和第 3s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项 A 正确，B 错误；第 3s 末和第 5s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项 C 错误，D 正确.8.(多选)物体 A 做简谐运动的振动方程是 xA3sin m，物体 B 做简谐运动的振动(100t 2)方程是 xB5sin m.比较 A、 B 的运动( )(100t 6)A.振幅是矢量， A 的振幅是 6m， B 的振幅是 10mB
25、.周期是标量， A、 B 周期相等，都为 100sC.A 振动的频率 fA等于 B 振动的频率 fBD.A 的相位始终超前 B 的相位 3答案 CD解析 振幅是标量， A、 B 的振动范围分别是 6m、10m，但振幅分别为 3m、5m，A 错； A、 B的周期均为 T s6.2810 2 s，B 错；因为 TA TB，故 fA fB，C 对；2 2100 A B ，为定值，D 对. 39.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图 7 所示，下列叙述中正确的是( )图 7A.质点的振动频率为 4HzB.在 10s 内质点经过的路程为 20cmC.在 5s 末，质点做简谐运动的相位为 3214D.t1
26、.5s 和 t4.5s 两时刻质点的位移大小相等，都是 cm2答案 BD解析 由题图可直接得到周期 T4 s，频率 f 0.25 Hz，故选项 A 错误；做简谐运动1T的质点一个周期内经过的路程是 4A8 cm.10 s 为 2.5 个周期，故质点经过的路程为 20 cm，选项 B 正确；由题图可知位移与时间的关系为 x0.02sin ( t) m.当 t5 s 时，其 2相位为 5 ，故 C 错误；在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质点位移相同， x2sin 2 52( 1.5) cm cm，故 D 正确. 2 210.(多选)如图 8 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖
27、直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为 x0.1sin (2.5 t) m.t0 时刻，一小球从距物块 h 高处自由落下； t0.6s 时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小 g10m/s 2.以下判断正确的是( )图 8A.h1.7mB.简谐运动的周期是 0.8sC.0.6s 内物块运动的路程是 0.2mD.t0.4s 时，物块与小球运动方向相反答案 AB解析 t0.6s 时，物块的位移为 x0.1sin (2.50.6) m0.1m，则对小球h| x| gt2，解得 h1.7m，选项 A 正确；简谐运动的周期是 T s0.8s，12 2 22.5选项 B
28、 正确；0.6s 内物块运动的路程是 3A0.3m，选项 C 错误； t0.4s ，此时物块在T2平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项 D 错误.二、非选择题11.(简谐运动的图像)某单摆及其振动图像如图 9 所示，取 g9.8m/s 2， 29.8，根据图给信息可计算得摆长约为； t5s 时间内摆球运动的路程为；若在悬点正下方 O处有一光15滑水平细钉可挡住摆线，且 ，则摆球从 F 点释放到第一次返回 F 点所需时间为 s.O E14OE图 9答案 1m 30cm 1.5解析 从题图可知完成一个全振动的时间即周期为 T2s，根据 T2 ，解得摆长为：LgL 1m，由题图可知振
29、幅为 3cm，摆球一个周期内的路程是振幅的 4 倍，所以 t5sgT24 2时间内摆球运动的路程为 30cm；碰钉后改变了摆长，因此单摆周期应分为钉左侧的半个周期和钉右侧的半个周期，前面求出摆长为 1m，根据周期公式可得： T 左 1s， T 右Lg 0.5s，所以周期为 T T 左 T 右 1.5s.L4g12.(简谐运动的表达式)某个质点的简谐运动图像如图 10 所示.图 10(1)求振动的振幅和周期；(2)写出简谐运动的表达式.答案 (1)10 cm 8s (2) x10 sin ( t) cm2 2 4解析 (1)由题图读出振幅 A10 cm2简谐运动方程 x Asin(2Tt)代入数
30、据得1010 sin2 (2T 7s)得 T8s.(2)x Asin ( t)10 sin ( t) cm.2T 2 413.(简谐运动的表达式)一物体沿 x 轴做简谐运动，振幅为 8cm，频率为 0.5Hz，在 t0 时，位移是 4cm，且向 x 轴负方向运动.(1)试写出用正弦函数表示的振动方程.16(2)10s 内通过的路程是多少？答案 (1) x0.08sin ( t ) m (2)1.6m56解析 (1)简谐运动振动方程的一般表达式为 x Asin (t ).根据题给条件有：A0.08m， 2 frad/s.所以 x0.08sin ( t ) m.将 t0， x0.04m 代入得0.040.08sin ，解得初相位 或 ， 6 56因为 t0 时，速度方向沿 x 轴负方向，即位移在减小，所以取 .56故所求的振动方程为 x0.08sin ( t ) m.56(2)周期 T 2s，所以 10s5 T，因一个周期内通过的路程是 4A，则 10s 内通过的路程1fs54 A208cm160cm1.6m.
