1、1第一部分 第三章 第 14 讲1已知，抛物线 y x2 bx c 经过点 A(1,0)和 C(0,3)(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使 PA PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)设点 M 在抛物线的对称轴上，当 MAC 是直角三角形时，求点 M 的坐标解：(1)将 A(1,0)， C(0,3)代入 y x2 bx c 中，得Error! 解得Error!抛物线的解析式为 y x22 x3.(2)连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 PA PC 取最小值，如答图 1 所示当 y0 时，有 x22 x30，解得 x1
2、1， x23，点 B 的坐标为(3,0)抛物线的解析式为 y x22 x3( x1) 24，抛物线的对称轴为直线 x1.设直线 BC 的解析式为 y kx d(k0)，将 B(3,0)， C(0,3)代入 y kx d 中，得Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x3.当 x1 时， y x32，当 PA PC 的值最小时，点 P 的坐标为(1,2)(3)设点 M 的坐标为(1， m)，则 CM21( m3) 2，AC210，AM24 m2，分三种情况讨论：当 AMC90时，有 AC2 AM2 CM2，即 104 m21( m3) 2，解得 m11， m22，2点 M 的坐
3、标为(1,1)或(1,2)；当 ACM90时，有 AM2 AC2 CM2，即 4 m2101( m3) 2，解得 m ，83点 M 的坐标为(1， )；83当 CAM90时，有 CM2 AM2 AC2，即 1( m3) 24 m210，解得 m ，23点 M 的坐标为(1， )23综上所述：当 MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(1， )或83(1， )23答图2在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx3( a0)与 x 轴交于 A(3,0)， B(1,0)两点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 和点 D
4、 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，过点 P 作 PQ OF 交抛物线于点 Q，是否存在以点 O， F， P， Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据题意，得Error!解得Error!抛物线的解析式为 y x22 x3.(2) y x22 x3( x1) 24，顶点坐标 D(1,4)， F(1，4)，若以点 O， F， P， Q 为顶点的平行四边形存在，则点 Q(x， y)满足| y| EF4，当 y4 时， x22 x34，解得 x12 ，2 Q1(12 ，4)， Q2(12 ，4)，2 2 P1(2 ，0)， P2(2 ，0)；2 2当 y4 时， x22 x34，解得 x1，3 Q3(1,4)， P3(2,0)综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(2 ，0)或(2 ，0)或(2,0)2 2答图
