1、1第二部分 专题三类型 1 与圆有关的角平分线问题1(2018衡阳)如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径， BAC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DE AC 分别交 AC， AB 的延长线于点 E， F.(1)求证： EF 是 O 的切线；(2)若 AC4， CE2，求 的长度(结果保留 )BD (1)证明：如答图，连接 OD，答图 OA OD， OAD ODA AD 平分 EAF， DAE DAO， DAE ADO， OD AE. AE EF， OD EF， EF 是 O 的切线(2)解：如答图，作 OG AE 于点 G，则 AG CG AC2， OGE E ODE90
2、，12四边形 ODEG 是矩形， OA OD GE CG CE224， DOG90，在 Rt AOG 中， OA2 AG， AOG30， BOD60，则 的长度为 .BD 60 4180 432(2018赤峰)如图，在 Rt ABC 中， C90， AD 平分 BAC，交 BC 于点 D，点2O 在 AB 上， O 经过 A， D 两点，交 AC 于点 E，交 AB 于点 F.(1)求证： BC 是 O 的切线；(2)若 O 的半径是 2 cm， E 是 的中点，求阴影部分的面积(结果保留 和根号)AD (1)证明：如答图，连接 OD，答图 OA OD， OAD ODA AD 平分 BAC，
3、OAD DAC， ODA DAC， OD AC， ODB C90， OD BC， BC 是 O 的切线(2)解：连接 OE， OE 交 AD 于 K， ， OE ADAE DE OAK EAK， AK AK， AKO AKE90， AKO AKE(ASA)， AO AE OE， AOE 是等边三角形， AOE60， S 阴影 S 扇形 OAE S AOE 22 .60 22360 34 23 33(2018咸宁)如图，以 ABC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆， ABC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E.(1)求证： DE 是 O
4、 的切线；(2)若 AB2 ， BC ，求 DE 的长5 5(1)证明：如答图，连接 OD， AC 是 O 的直径， ABC90.3答图 BD 平分 ABC， ABD45， AOD90. DE AC， ODE AOD90， DE 是 O 的切线(2)解：在 Rt ABC 中， AB2 ， BC ，5 5 AC 5， OD .AB2 BC252 DE AC， CEG ACB，tan CEGtan ACB， ，即 ，CGGE ABBC 2.5GE 255解得 GE ， DE DG GE .54 1544(2018莱芜)如图，已知 A， B 是 O 上两点， OAB 外角的平分线交 O 于另一点C，
5、 CD AB 交 AB 的延长线于 D(1)求证： CD 是 O 的切线；(2)E 为 的中点， F 为 O 上一点， EF 交 AB 于 G，若 tan AFE ， BE BG， EG3AB 34，求 O 的半径10(1)证明：连接 OC，如答图，答图 BC 平分 OBD， OBC CBD OB OC， OBC OCB，4 OCB CBD， OC AD，而 CD AB， OC CD， CD 是 O 的切线(2)解：连接 OE 交 AB 于 H，如答图， E 为 的中点， OE ABAB ABE AFE，tan ABEtan AFE ，34在 Rt BEH 中，tan HBE ，EHBH 34
6、设 EH3 x， BH4 x， BE5 x. BG BE5 x， GH x，在 Rt EHG 中， x2(3 x)2(3 )2，解得 x3，10 EH9， BH12，设 O 的半径为 r，则 OH r9，在 Rt OHB 中，( r9) 212 2 r2，解得 r ，252即 O 的半径为 .252类型 2 与圆有关的双切线问题1(2018北京)如图， AB 是 O 的直径，过 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PC， PD，切点分别为 C， D，连接 OP， CD(1)求证： OP CD；(2)连接 AD， BC，若 DAB50， CBA70， OA2，求 OP 的长(1)证明：如答图，设
7、 PO 与 DC 交于点 Q， PC， PD 与 O 相切于 C， D， PC PD， OP 平分 CPD，在等腰 PCD 中， PC PD， PQ 平分 CPD， PQ CD 于 Q，即 OP CD(2)解：如答图，连接 OC， OD，5答图 OA OD， OAD ODA50， AOD180 OAD ODA80.同理： BOC40， COD180 AOD BOC60，在等腰 COD 中， OC OD， OQ CD， DOQ COD30.12 PD 与 O 相切于 D， OD DP， ODP90，在 Rt ODP 中， ODP90， POD30， OP .ODcos POD OAcos30 2
8、32 4332(2018黔西南)如图， CE 是 O 的直径， BC 切 O 于点 C，连接 OB，作 ED OB 交 O 于点 D， BD 的延长线与 CE 的延长线交于点 A(1)求证： AB 是 O 的切线；(2)若 O 的半径为 1，tan DEO ，tan A ，求 AE 的长214(1)证明：连接 OD，如答图，答图 ED OB，14，23，6 OD OE，34，12.在 DOB 与 COB 中，Error! DOB COB(SAS)， ODB OCB BC 切 O 于点 C， OCB90， ODB90， AB 是 O 的切线(2)解： DEO2.tan DEOtan2 .2 O
9、的半径为 1， OC1， BC .2tan A ， AC4 BC4 ，BCAC 14 2 AE AC CE4 2.23(2018武汉)如图， PA 是 O 的切线， A 是切点， AC 是直径， AB 是弦，连接PB， PC， PC 交 AB 于点 E，且 PA PB(1)求证： PB 是 O 的切线；(2)若 APC3 BPC，求 的值PECE(1)证明：如答图，连接 OP， OB答图 PA 是 O 的切线， PA OA， PAO90.在 PAO 和 PBO 中，Error! PAO PBO(SSS) PAO PBO90， PB OB， PB 是 O 的切线(2)解：设 OP 交 AB 于
10、K. AC 是 O 的直径， ABC90， AB BC7 PA， PB 都是 O 的切线， PA PB， APO BPO. OA OB， OP 垂直平分线段 AB， OK BC AO OC， AK BK， BC2 OK，设 OK a，则 BC2 a. APC3 BPC， APO OPB， OPC BPC PCB， BC PB PA2 a. PAK POA， PA2 PKPO，设 PK x，则有 x2 ax4 a20，解得 x a(负根舍去)，17 12 PK a.17 12 PK BC， .PEEC PKBC 17 144(2018襄阳)如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是 O
11、的两条切线， E 为 O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM， BN 于点 D， C，且 CB CE.(1)求证： DA DE；(2)若 AB6， CD4 ，求图中阴影部分的面积3(1)证明：如答图，连接 OE， OC， BE. OB OE， OBE OEB BC EC， CBE CEB， OBC OEC BC 为 O 的切线， OEC OBC90. OE 为 O 的半径， CD 为 O 的切线 AD 切 O 于点 A， DA DE.(2)解：如答图，过点 D 作 DF BC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，8答图 AD BF， DF AB6， DC BC AD4 .3 FC
12、2 ，DC2 DF2 3 BC AD BF FC AD AD FC AD2 AD2 4 ， AD ，3 3 3 BC BF FC AD FC 2 3 ，3 3 3在 Rt OBC 中，tan BOC ，BCBO 333 3 BOC60，在 OEC 和 OBC 中，Error! OEC OBC(SSS)， BOE2 BOC120， S 阴影 S 四边形 BCEO S 扇形 OBE2 BCOB 9 3.12 120 OB2360 35(2018新疆)如图， PA 与 O 相切于点 A，过点 A 作 AB OP，垂足为 C，交 O 于点 B 连接 PB， AO，并延长 AO 交 O 于点 D，与 P
13、B 的延长线交于点 E.(1)求证： PB 是 O 的切线；(2)若 OC3， AC4，求 sinE 的值(1)证明：如答图，连接 OB答图 PO AB， AC BC， PA PB，在 PAO 和 PBO 中，Error! PAO PBO(SSS)， OBP OAP90，9 PB 是 O 的切线(2)解：连接 BD， AD 是 O 的直径， ABD90. ACO90， BD PO，且 BD2 OC6，在 Rt ACO 中， OC3， AC4， AO5，在 Rt ACO 和 Rt PAO 中，Error! ACO PAO， ， ， PO ， PA ，AOCO POAO ACPA COAO 253
14、 203 PB PA ，203在 EPO 与 EBD 中， BD PO， EPO EBD， ，BDPO EBEP解得 EB ， PE ，1207 50021sin E .PAEP 725类型 3 与圆有关的弦切角问题1(2018金华)如图，在 Rt ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心， OB 为半径作圆，分别与 BC， AB 相交于点 D， E，连接 AD 已知 CAD B(1)求证： AD 是 O 的切线(2)若 BC8，tan B ，求 O 的半径12(1)证明：如答图，连接 OD，10答图 OB OD，3 B B1，13.在 Rt ACD 中，1290，4180(23)
15、90， OD AD， AD 是 O 的切线(2)解：设 O 的半径为 r，在 Rt ABC 中， AC BCtanB4，根据勾股定理得 AB 4 ，42 82 5 OA4 r.5在 Rt ACD 中，tan1tan B ，12 CD ACtan12，根据勾股定理得 AD2 AC2 CD216420，在 Rt ADO 中， OA2 OD2 AD2，即(4 r)2 r220，解得 r .5352即 O 的半径为 .3522(2018玉林)如图，在 ABC 中，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D， DAC B(1)求证： AC 是 O 的切线；(2)点 E 是 AB 上一点，若 BCE B，
16、tan B ， O 的半径是 4，求 EC 的长12(1)证明： AB 是 O 的直径， ADB90， B BAD90. DAC B， DAC BAD90， BAC90， BA AC， AC 是 O 的切线(2)解： BCE B， EC EB，设 EC EB x，在 Rt ABC 中，tan B ， AB8， AC4.ACAB 12在 Rt AEC 中， EC2 AE2 AC2， x2(8 x)24 2，解得 x5， CE5.113(2018齐齐哈尔)如图，以 ABC 的边 AB 为直径画 O，交 AC 于点 D，半径OE BD，连接 BE， DE， BD，设 BE 交 AC 于点 F，若 DEB DBC(1)求证： BC 是 O 的切线；(2)若 BF BC2，求图中阴影部分的面积(1)证明： AB 是 O 的直径， ADB90， A ABD90. A DEB， DEB DBC， A DBC， DBC ABD90， BC 是 O 的切线(2)解：如答图，连接 OD， BF BC2，且 ADB90，答图 CBD FBD OE BD， FBD OEB OE OB， OEB OBE， CBD DBE OBE ABC 9030， C60，13 13 AB BC2 ，3 3 O 的半径为 ， BOD60，3 S 阴影 S 扇形 DOB S DOB 3 3 .16 34 2 334
