1、1专题 3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1）该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好” 、 “最大” 、 “至少” 、 “不相撞” 、 “不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。2. 常用方法对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的
2、圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法” 。 放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法” 。【典例 1】(2016全国卷) 平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q0)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 O
3、M 成 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( )A. B.mv2qB 3mvqBC. D.2mvqB 4mvqB【答案】 D【解析】 如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R 。设入射点为 A，出射点为 B，圆弧与 ON 的交点为 P。由粒子运动mvqB的对称性及粒子的入射方向知， AB R。2由几何图形知， AP R，则 AO AP3 R，所以 OB4 R 。故选项 D 正确。3 34mvqB【典例 2】如图所示，成 30角的直线 OA、 OB 间(含 OA、 OB 线上)有一垂
4、直纸面向里的匀强磁场， OA 边界上的 S 点有一电子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为 r、周期为 T。已知从 OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为 ，则下列说法正确的是( )T6A沿某一方向发射的电子，可能从 O 点射出B沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于 OB 的方向射出C从 OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T3D从 OB 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T4【答案】BC 【解析】当出射点 D 与 S 点的连线垂直于 OB 时，弦 SD 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短， t T ，则 60，如图 1
5、所示：360 T6【典例 3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m5.010 8 kg、电量为 q1.010 6 C 的带电粒子，从静止开始经 U010 V 的电压加速后，从 P 点沿图示方向进入磁场，已知 OP30 cm，(粒子重力不计，sin 370.6，cos 370.8)，求：3(1)带电粒子到达 P 点时速度 v 的大小；(2)若磁感应强度 B2.0 T，粒子从 x 轴上的 Q 点离开磁场，求 OQ 的距离；(3)若粒子不能进入 x 轴上方，求磁感应强度 B满足的条件。【答案】 (1)20 m/s (2)0.90 m (3) B5.33
6、T(取“”也可)【解析】 (1)对带电粒子的加速过程，由动能定理 qU0 mv212代入数据得： v20 m/s。(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：qvB 得 Rmv2R mvqB代入数据得： R0.50 m而 0.50 mOPcos 53故粒子的轨迹圆心一定在 x 轴上，粒子到达 Q 点时速度方向垂直于 x 轴，轨迹如图甲所示。由几何关系可知：OQ R Rsin 53故 OQ0.90 m。(3)带电粒子不从 x 轴射出(如图乙)，由几何关系得：OPR Rcos 53RmvqB4由以上两式并代入数据得：B T5.33 T(取“”也可)。163【典例 4】(2018 福州模拟)
7、如图所示，有一矩形区域 abcd，水平边长为 s m，竖直边长为 h1 m，当3该区域只存在大小为 E10 N/C、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为 0.1 C/kg 的正粒子由 a 点沿qmab 方向以速率 v0进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心。当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为 0.1 C/kg 的负粒子由 c 点沿 cd 方向以同样的速率 v0进入该区域，粒子运动轨迹也恰qm好通过该区域的几何中心。不计粒子的重力，则( )A正、负粒子离开矩形区域时的速率均为 m/s32B磁感应强度大小为 T，方向垂直纸面向外32C正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为6D正、负
8、粒子各自离开矩形区域时的动能相等【答案】C边射出时： h t 2，代入数据得 t s，由上述分析，负粒子在磁场中偏转 90后从 ab 边射12 Eqm 2出，时间 t T s，所以两者的时间之比 ，所以选项 C 正确；由于正粒子在电场14 14 2 mBq 3 tt 6中是做匀加速曲线运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，且两种粒子的比荷虽然相等，但质量大小情况不明，所以两种粒子离开矩形区域时动能不相等，所以选项 D 错误。【典例 5】(2016全国卷)一圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒5的横截面如图所示。图中直径 MN 的
9、两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度 顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔 M 射入筒内，射入时的运动方向与 MN 成 30角。当筒转过 90时，该粒子恰好从小孔 N 飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )A. B.3B 2BC. D. B 2B【答案】 A【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧 AMP所对应的圆心角由几何知识知为 30，则 ，即2 2 mqB 30360 ，选项 A 正确。qm 3B【跟踪训练】1.如图所示，在 x0、 y0 的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里，大小为 B，现有四个质量及电荷
10、量均相同的带电粒子，由 x 轴上的 P 点以不同的初速度平行于 y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )A初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子B初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子C在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子6D在磁场中运动时间最短的是沿方向射出的粒子【答案】A 2如图所示，在一挡板 的上方，有磁感应强度为 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。 为 上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为 、质量为 、带电量为 的粒子，假设不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是A B C D 【答案
11、】C【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径 ，所有粒子在磁场中半径相同，由图可知，由 O 点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以 O 点为圆心以 2R 为半径转动。如图所示，由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为： ，故选 C. 3. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内， O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30角的方向，以大小不同的速
12、率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )7A若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 cd 边射出磁场53B若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ad 边射出磁场23C若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 bc 边射出磁场54D若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ab 边射出磁场【答案】AC 【解析】如图所示，4. 如图所示，在平面直角坐标系中有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场(未画出)，其边界过原点 O 和 y 轴上的点 a(0， L)。一质量为 m、电荷量为 e 的电子从 a 点以初速度 v0平行于 x 轴正方向射入磁场，并从 x轴上的
13、 b 点射出磁场，此时速度的方向与 x 轴正方向的夹角为 60，下列说法正确的是( )A电子在磁场中运动的时间为 Lv0B电子在磁场中运动的时间为2 L3v0C磁场区域的圆心坐标为 (32L， L2)8D电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，2 L)【答案】BC 【解析】 设电子的轨迹半径为 R，电子运动轨迹如图所示，由几何知识， Rcos 60 R L，得 R2 L，电子在磁场中运动时间 t ，而 T ，得： t ，AT6 2 Rv0 2 L3v0错误，B 正确；设磁场区域的圆心坐标为( x， y)，其中 x Rsin 60 L， y ，所以磁场圆心坐标为12 32 L2，故 C 正确；由
14、 R 2L，且入射点坐标为(0， L)，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0， L)，故(32L， L2)D 错误。5如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径 A2A4为边界的两个半圆形区域、中， A2A4与 A1A3的夹角为 60。一质量为 m、电荷量为 q 的粒子以某一速度从区的边缘点 A1处沿与 A1A3成 30角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于 A2A4的方向经过圆心 O 进入区，最后再从 A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为 t，求：(1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹；(2)粒子在磁场和中的轨迹半径 R1和 R2的比值；(3)区和
15、区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。【答案】：(1)见解析 (2)21 (3) 5 m6qt 5 m3qt【解析】(1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹如图所示。(2)设粒子的入射速度为 v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从 A4点射出，用 B1、 B2， R1、 R2， T1、 T2分别表示在磁场、区的磁感应强度、轨迹半径和周期。9设圆形区域的半径为 r，已知带电粒子过圆心且垂直于 A2A4进入区磁场，连接 A1A2， A1OA2为等边三角形， A2为带电粒子在区磁场中运动轨迹的圆心，由几何关系知，其半径 R1 A1A2 OA2 r粒子在区磁场中运动的轨迹半径 R2r2即 21。R1R2圆心角 A1A2O60，带电粒子在区磁场中运动的时间为 t1 T116在区磁场中运动的时间为 t2 T212带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t t1 t2由以上各式可得 B1 ， B2 。5 m6qt 5 m3qt
