1、1专题 3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（2）1.(2018 江苏高考 15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为 4d,宽为 d,中间两个磁场区域间隔为 2d,中轴线与磁场区域两侧相交于 O、O点,各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为 m、电荷量为+q,从 O 沿轴线射入磁场。当入射速度为 v0时,粒子从 O 上方 2d处射出磁场。取 sin 53=0.8,cos 53=0.6。(1)求磁感应强度大小 B。(2)入射速度为 5v0时,求粒子从 O 运动到 O的时间 t。(3)入射速度仍为 5v0,通过沿轴线 OO平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从 O 运动
2、到 O的时间增加t,求 t 的最大值。【答案】:(1) 04mvqd (2) 0(53+72)18dv (3) 05v【解析】(1)粒子圆周运动的半径 mrqB由题意知 r0= 4d,解得 0vBd(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为 ,半径为 r,由 r= mvqB得 r=5r0=54由 d=rsin ,得 sin = 5,即 =53在一个矩形磁场中的运动时间 12360mtqB,解得 t1= 05372dv2直线运动的时间 t2= dv,解得 t2= 05v则 120(53+7)48tt(3)将中间两磁场分别向中央移动距离 x,粒子向上的偏移量 y=2r(1-cos )+xtan 由 y2d
3、,解得 x 34d则当 xm= 时,t 有最大值2.（2017 新课标 18）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为 1v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为 2v，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则 21:v为A. 32： B. 1： C. 3： D. 2： 【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的速度为 1v，3如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半
4、径为 11cos602rR；同理，若粒子射入的速度为 2v，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为 23；根据 mvrqB，则 21:=3:1vr，故选 C.3(2017全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场， P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入的速率为 v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则 v2 v1为( )A. 2 B. 13 2C. 1 D33 2【答案】C 【解析】由于是相同的粒子，粒
5、子进入磁场时的速度大小相同，由 qvB m 可知， R ，即粒子在磁场v2R mvqB中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为 v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点 A 离 P 点最远时，则 AP2 R1；同样，若粒子运动的速度大小为 v2，粒子在磁场边界的出射点 B 离 P 点最远时，则 BP2 R2，由几何关系可知， R1 ， R2 Rcos 30R2 R，则 ，C 项正确。32 v2v1 R2R1 34(2016四川高考)如图所示，正六边形 abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从 f4点沿 fd 方向射入磁场区域，当速度大小为 vb时，从
6、b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tb，当速度大小为 vc时，从 c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tc，不计粒子重力。则( )A vb vc12， tb tc21B vb vc21， tb tc12C vb vc21， tb tc21D vb vc12， tb tc12【答案】A 【解析】如图所示，5. (2016海南高考)如图， A、 C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上， OCA30， OA 的长度为 L。在 OCA区域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于 OC
7、边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。(1)求磁场的磁感应强度的大小；(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场内运动的时间为 t0，求粒子此次入射53速度的大小。5【答案】 (1) (2)2 t0 (3) m2qt0 3 L7t0【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间 t0内其速度方向改变了 90，故其周期 T4 t0设磁感应强度大小为 B，粒子速度为 v，圆周运动的半径为 r。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 qvB
8、mv2r匀速圆周运动的速度满足 v 2 rT联立式得 B 。 m2qt0(2)设粒子从 OA 边两个不同位置射入磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为 1和 2。由几何关系有 1180 2粒子两次在磁场中运动的时间分别为 t1与 t2，则 t1 t2 2 t0。T2(3)如图(b)，联立式得 v0 。3 L7t06(2016 四川理综，11) 如图所示，图面内有竖直线 DD，过 DD且垂直于图面的平面将空间分成、两区域。区域有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场 B(图中未画出)；区域6有固定在水平地面上高
9、h2 l、倾角 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD距离 s4 l，区域可 4加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)； C 点在 DD上，距地面高 H3 l。零时刻，质量为 m、带电量为 q 的小球 P 在 K 点具有大小 v0 、方向与水平面夹角 的速度，在区域内做半径 rgl 3的匀速圆周运动，经 C 点水平进入区域。某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处3l与刚运动到斜面的小球 P 相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响。 l已知， g 为重力加速度。(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；(2)若小球 A、 P 在斜面底端相遇，
10、求释放小球 A 的时刻 tA；(3)若小球 A、 P 在时刻 t ( 为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域的匀强电场的场强 E，并lg讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向。【答案】 (1) (2)(32 ) m3qLgl 2 lg(3) 极大值 ，竖直向上；极小值 0（ 11 2） mgq（ 1） 7mg8q【解析】 (1)由题知，小球 P 在区域内做匀速圆周运动，有m qv0B代入数据解得 B m3lqgl(2)小球 P 在区域做匀速圆周运动转过的圆心角为 ，运动到 C 点的时刻为 tC，到达斜面底端时刻为t1，有tC rv0s hcot v0(t1 tC)小球 A 释放后沿斜面运动
11、加速度为 aA，与小球 P 在时刻 t1相遇于斜面底端，有mgsin maA aA(t1 tA)2hsin 127联立以上方程可得 tA(32 ) 2lg(3)设所求电场方向向下，在 tA时刻释放小球 A，小球 P 在区域运动加速度为 aP，有s v0(t tC) aA(t tA) 2cos 12mg qE maPH h aA(t tA) 2sin aP(t tC)212 12联立相关方程解得 E（ 11 2） mgq（ 1）对小球 P 的所有运动情形讨论可得 3 5由此可得场强极小值为 Emin0；场强极大值为 Emax ，方向竖直向上。7mg8q7. (2015 山东理综，24) 如图所示
12、，直径分别为 D 和 2D 的同心圆处于同一竖直面内, O 为圆心， GH 为大圆的水平直径两圆之间的环形区域(区)和小圆内部(区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场间距为 d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔一质量为 m、电量 为 q 的粒子由小孔下方 处静止d2释放，加速后粒子以竖直向上的速度 v 射出 电场，由 H 点紧靠大圆内侧射入磁场不计粒子的重力(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；(3)若区、区磁感应强度的大小分别为 、 ,粒子运动一段时间后再次经过 H 点，求这段时间粒子2mvqD 4mvqD运动的路程【答案】 (1) (
13、2) 或 (3)5.5 Dmv2qd 4mvqD 4mv3qD【解析】 (1)设极板间电场强度的大小为 E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE mv2d2 12解得 E mv2qd(2)设区磁感应强度的大小为 B，粒子做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律得8qvB mv2R甲(3)设粒子在区和区做圆周运动的半径分别为 R1、 R2，由题意可知，区和区磁感应强度的大小分别为 B1 、 B2 ，由牛顿第二定律得2mvqD 4mvqDqvB1 m ， qvB2 m v2R1 v2R2代入数据得R1 ， R2 D2 D4设粒子在区和区做圆周运动的周期分别为 T1、 T2，由运动学公式得T1
14、， T2 2 R1v 2 R2v乙据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称可知，区两段圆弧所9对圆心角相同，设为 1，区内圆弧所对圆心角设为 2，圆弧和大圆的两个切点与圆心 O 连线间的夹角设为 ，由几何关 系得 1120 218060丙粒子重复上述交替运动回到 H 点，轨迹如图丙所示，设粒子在区和区做圆周运动的时间分别为 t1、 t2可得t1 T1，360 12360t2 T2360 2360设粒子运动的路程为 s，由运动学公式得s v(t1 t2) 联立 式得s5.5 D 8 （2019 北京市通州区潞河中学高三开学检测）如图所示，虚线框 MNQP 内存在匀
15、强磁场，磁场方向垂直纸面向里。 a、 b、 c 是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从 PQ 边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则( )A 粒子 a 带负电，粒子 b、 c 带正电B 粒子 a 在磁场中运动的时间最长C 粒子 b 在磁场中的加速度最大10D 粒子 c 在磁场中的动量最大【答案】C9 （2019 届江西省红色七校高三第一次联考）如图所示，在直角三角形 ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出） ，AB 边长度为 d， .现垂直 AB 边射入一群质量均为 m、电荷量均为 q、速度大小均为 v 的带正电粒子，已知垂
16、直 AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为 t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为 （不计重力） 则下列判断中正确的是( ) A 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 4tB 该匀强磁场的磁感应强度大小为C 粒子在磁场中运动的轨道半径为D 粒子进入磁场时速度大小为【答案】ABC【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直 AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是 ，即为：，则得周期为：T=4t，故 A 正确；由 T=4t，R= ，T= ，得： ，故 B 正确；运动时11间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有： ，解得：R= d，故 C 正确；根据粒子在磁场中运动的速度为：v=
17、 ，周期为：T=4t 0，半径为：R= d，联立可得：v= ，故 D 错误。故选 ABC。10 （2019 届四川省成都市第七中学高三零诊模拟考试）如图所示， M， N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为 q，质量为 m（不计重力） ，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外， CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 30，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当 M， N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，则下列说法正确的是(
18、) A 两板间电压的最大值B CD 板上可能被粒子打中区域的长度C 粒子在磁场中运动的最长时间D 能打到 N 板上的粒子的最大动能为【答案】ACD【解析】画出粒子运动轨迹的示意图，如图所示，12A. 当 M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，可知粒子半径 r=L，的加速电场中，根据动能定理： ，在偏转磁场中，根据洛伦兹力提供向心力可得： ，联立可得：，故 A 正确；B.设粒子轨迹与 CD 相切于 H 点，此时粒子半径为 ，粒子轨迹垂直打在 CD 边上的 G 点，则，根据洛伦兹力提供向心力可得： ，联立可得能打到 N 板上的粒子的最大动能为：，故 D 正确；故选 ACD。11
19、 （2019 届安徽省六安二中高三（上）开学测试）如图所示，直角三角形 ABC 的区域内有垂直纸面的匀强磁场， O、 D 是 AB 和 AC 边的中点，一束带电粒子沿OD 方向射入磁场中，恰好从 B 点射出磁场，下列说法中正确的是 A 只改变带电粒子的带电性质，粒子将从 A 点射出磁场13B 只改变带电粒子的带电性质，粒子将从 AD 边界上的某点射出磁场C 只将磁场方向反向，粒子将从 OA 边界上的某点射出磁场D 只将磁场方向反向，粒子不可能从 A 点射出磁场【答案】BD【解析】一束带电粒子沿 OD 方向射入磁场中，恰好从 B 点射出磁场，运动轨迹如图实线所示：A、B、如果只改变带电粒子的带电
20、性质，粒子在磁场中受到的洛伦兹力方向相反，粒子将向上偏转，粒子将从 AD 边界上某点射出磁场，如图虚线所示，故 A 错误，B 正确。C、D、如果只将磁场方向反向，粒子在磁场中受到的洛伦兹力反向，粒子将向上偏转，运动轨迹如图中虚线所示，粒子将从 AD 边界上的某点射出磁场，粒子不可能经过 A 点，不可能从 A 点射出磁场，故 C 错误，D 正确。故选 BD12 （2019 届山西省榆社中学高三上学期第一次联考）如图所示，xOy 平面内 y 轴和垂直于 x 轴的虚线 MN 间存在着沿 y 轴正方向的匀强电场，一质量为 m、带电荷量为q 的粒子从坐标原点 O 以大小为 v0的速度沿 x 轴正方向射出
21、，从线上的 M（2 l， l）点进人虚线右侧，粒子运动一段时间后进入一个磁感应强度大小为 B、方向与 xOy 平面垂直的圆形匀强磁场区域（图中未画出） ，最后又从虚线上的 N 点沿 x 轴负方向射出磁场。不计粒子重力。求（1）匀强电场的电场强度的大小；（2）粒子在匀强磁场中的转动半径；（3）圆形磁场的最小面积。 （可用三角函数表示）【答案】 （1） （2） （3）14【解析】【详解】 （1）粒子从 O 点进入电场后做类平抛运动，设电场强度大小为 E则：粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：，解得：（3）粒子从 a 点射入磁场，从 b 点射出磁场，以 ab 连线为直径的圆形磁场面
22、积最小如图所示最小面积解得：13 （2019 届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图所示，坐标空间中有场强为 E=100 N/C 的匀强电场和磁感应强度为 B=10-3T 的匀强磁场，y 轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为 m，电荷量为-q 的带电粒子从电场中坐标位置(-151，0)处，以初速度 vo=105 m/s 沿 x 轴正方向开始运动，且已知带电粒子的比荷 = 108 C/kg，粒子的重力忽略不计，则：(1)求带电粒子进入磁场的速度大小；(2)为使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，求磁场的宽度 d 应满足的条件。【答案】(1) m/s (2)2.41m【解析】 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动的加速度为 a，由牛顿第二定律可得：qE=ma设粒子出电场、入磁场时的速度大小为 v，此时在 y 方向的分速度为 vy，粒子在电场中运动的时间为 t，则：v y=at l=v0t解得 vy=v0 （2）设 v 的方向与 y 轴夹角为 ，则有 可得 =45 0粒子进入磁场后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，如图：则有：可得 要使粒子穿越磁场区域，磁场的宽度应满足的条件： 综合已知条件解以上各式可得：
