1、1专题 3.7 带电粒子在交变场中的运动问题（1）交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间作周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过程比较复杂，情景多元，深入考查综合分析能力，是高考的热点题型。求解这类问题时首先要明确是电场做周期性变化还是磁场做周期性变化，亦或是电场、磁场都做周期性变化，一般按如下思路分析：【典例】如图甲所示，在 xOy 平面内存在均匀、大小随 时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、 y 轴方向为电场强度的正方向)。在 t0 时刻由原 点 O 发射初速度大小为 v0，方向沿 y 轴方向的带负电粒子(不计重力)。
2、其中已知 v0、 t0、 B0、 E0，且E0 ， 粒子的比荷 ， x 轴上有一点 A，坐标为 。B0v0 qm B0t0 (48v0t0 ， 0)(1)求 时带电粒子的位置坐标。 t02(2)粒子运动过程中偏离 x 轴的最大距离。(3)粒子经多长时间经过 A 点。【答案】 (1) (2)1.5 v0t0 (3)32 t0(v0t0 ， v0t0 ) 2v0t0【解析】 (1)在 0 t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：qB0v0 m r1 m4 2T2 v02r1得： T 2 t0， r1 2 mqB0 mv0qB0 v0t0则在 时间内转过的圆心角 ，所以在 t 时
3、，粒子的位置坐标为： 。t02 2 t02 (v0t0 ， v0t0 )2(2)在 t02 t0时间内，粒子经电场加速后的速度为 v，粒子的运动轨迹如图所示v v0 t02 v0E0qm运动的位移： x t01.5 v0t0v0 v2在 2t03 t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径：r22 r12v0t0故粒子偏离 x 轴的最大距离： h x r21.5 v0t0 。2v0t0【跟踪训练】1在第一象限(含坐标轴)内有垂直 xOy 平面周期性变化的均匀磁场，规定垂直 xOy 平面向里的磁场方向为正磁场变化规律如图，磁感应强度的大小为 B0，变化周期为 T0.某一正粒子质量为 m、电量为 q 在t
4、0 时从 0 点沿 x 轴正向射入磁场中若要求粒子在 t T0时距 x 轴最远，则 B0的值为( )A 0mqT B 02mqTC 032 D 053【答案】D【解析】粒子在磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 ，则： 2vqBmr，3所以： mvrqB 粒子运动的周期： 2rmTvqB要求在 T0时，粒子距 x 轴最远如图作出粒子运动轨迹设两段圆弧的圆心 12O的连线与 y 轴夹角为 ， P 点的纵坐标为 y，圆心 O2到 y 轴之间的距离为 x，则由几何关系，得： yrcos， 2xinr因为粒子在第一象限内运动， xr由题意根据数学关系知，当 30时， y 取最大值，故此时粒子在磁场中
5、 02Tt时间内对圆心转过的角度为 5106，根据粒子在磁场中做圆周运动的 时间： t得： 02TTt又粒子在磁场中做圆周运动的周期公式知： 2mTqB ，知磁感应强度 053mBqT，故选项 D 正确，ABC错误。 2. 如图甲所示，宽度为 d 的竖直狭长区域内(边界为 L1、 L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E0， E0 表示电场方向竖直向上 t0 时，一带正电、质量为 m 的微粒从左边界上的 N1点以水平速度 v 射入该区域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 N2点 Q 为线段 N1N
6、2的中点，重力加速度为 g.上述 d、 E0、 m、 v、 g为已知量4(1)求微粒所带电荷量 q 和磁感应强度 B 的大小(2)求电场变化的周期 T.(3)改变宽度 d，使微粒仍能按上述运动过 程通过相应宽度的区域，求 T 的最小值【答案】 （1） q ， B （2） （3）mgE0 2E0v d2v vg 2 1 v2g【解析 】 (1)微粒做直线运动，则mg qE0 qvB微粒做圆周运动，则 mg qE0联立得 q mgE0B 2E0v(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求 d2 R联立得 R v22g设在 N1Q 段直线运动的最短时间为 t1min，由 得 t1min ，因 t2不变，
7、 T 的最小值 Tmin t1min t2v2g 2 1 v2g3. 如图甲所示，在以 O 为坐标原点的 xOy 平面内，存在着范围足够大的电场和磁场一个质量m210 2 kg，带电荷量 q510 3 C 的小球在 0 时刻以 v040 m/s 的速度从 O 点沿 x 方向(水平向右)射入该空间，在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿 y 方向(竖直向上)，场强大小E040 V/m.磁场垂直于 xOy 平面 向外，磁感应强度大小 B04 T取当地的重力加速度 g10 m/s2，计5算结果中可以保留根式或 .(1)求 12 s 末小球速度的大小(2)在给定的 xOy 坐标系中，大致画
8、出小球在 24 s 内的运动轨迹示意图(3)求 26 s 末小球的位置坐标【答案】 (1)20 m/s (2)见解析 (3) x2 m y2 m5 (12060 ) (45 80 )【解析】 (1)当不存在电场和磁场时，小球只受重力作用，做平抛运动，当同时加上电场和磁场时，电场力方向向上： F1 qE00.2 N，重力方向向下： G mg0.2 N重力和电场力恰好平衡，此时小球受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有： qv0B0 mv20r运动周期 T ，联立解得 T2 s2 rv0(2)小球在 24 s 内的运动轨迹示意图如图所示(半径越来越大)(3)分析可知，小球 24 s 末与 26 s 末的位置相同，在 26 s 内小球做了 t23 s 的平抛运动，23 s 末小球平抛运动的位移大小为 x1 v0t2120 my1 gt 45 m12 2此时小球的速度大小为 v2 50 m/sv20 gt2 2速度与竖直方向的夹角为 53此后小球做匀速圆周运动的半径 r2 mmv2qB0 50626 s 末，小球恰好完成了半个圆周运动，此时小球的位置坐标x2 x12 r2cos m(12060 )y2 y12 r2sin m.(4580 )
