1、1课时训练(二十六) 正方形及中点四边形(限时:30 分钟)|夯实基础 |1.2017广安 下列说法: 四边相等的四边形一定是菱形; 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形; 对角线相等的四边形一定是矩形; 经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 .其中说法正确的个数为 ( )A.4 B.3 C.2 D.12.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 ( )A.1次 B.2次 C.3次 D.4次3.若顺次连接四边形 ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形 ABCD一定是 ( )A.矩形2B.菱形C.对角线相等的四边形
2、D.对角线互相垂直的四边形4.2017河北 如图 K26-1是边长为 10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 ( )图 K26-1图 K26-25.2017黔东南州 如图 K26-3,正方形 ABCD中, E为 AB中点, FE AB,AF=2AE,FC交 BD于点 O,则 DOC的度数为 ( )图 K26-3A.60 B.67.5C.75 D.546.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件: AB=BC ; ABC=90;AC=BD ;AC BD中选两个作为补充条件,使 ABCD成为正方形(如图 K2
3、6-4),现有下列四种选法,你认为错误的是 ( )图 K26-43A. B. C. D.7.2017黄冈 已知:如图 K26-5,在正方形 ABCD的外侧,作等边三角形 ADE,则 BED= 度 . 图 K26-58.2017大庆 如图 K26-6,点 M,N在半圆的直径 AB上,点 P,Q在 上,四边形 MNPQ为正方形 .若半圆的半径为 ,则 5正方形的边长为 . 图 K26-69.2018深圳 如图 K26-7,四边形 ACDF是正方形, CEA和 ABF都是直角且 E,A,B三点共线, AB=4,则阴影部分的面积是 . 图 K26-710.2018武汉 以正方形 ABCD的边 AD为边
4、作等边三角形 ADE,则 BEC的度数是 . 11.2017义乌 如图 K26-8为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD为正方形,点 G在对角线 BD上,GE CD,GF BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为 B A G E,小聪行走的路线为 B A D E F,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为 m. 4图 K26-812.2018舟山 如图 K26-9,等边三角形 AEF的顶点 E,F在矩形 ABCD的边 BC,CD上,且 CEF=45.求证:矩形 ABCD是正方形 .图 K26-913.如图 K26-10,四边形 ABCD是正方形,点 E是 BC边的中点, AEF
5、=90,且 EF交正方形外角的平分线 CF于点 F.求证: AE=EF.图 K26-105|拓展提升 |14.2018烟台 【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 K26-11 ,点 P是正方形 ABCD内一点, PA=1,PB=2,PC=3,你能求出 APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将 PBC绕点 B逆时针旋转 90,得到 BPA,连接 PP,求出 APB的度数;思路二:将 APB绕点 B顺时针旋转 90,得到 CPB,连接 PP,求出 APB的度数 .请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程 .【类比探究】如图 ,若点 P是正方形 AB
6、CD外一点, PA=3,PB=1,PC= ,求 APB的度数 .11图 K26-116参考答案1.C 解析 正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故 错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故 错误; 正确 .综上所述,正确的说法有 2个 .故选 C.2.B3.D 解析 如图,四边形 EFGH是矩形,且 E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得: EH FG BD,EF AC HG. 四边形 EFGH是矩形,即 EF FG,AC BD.4.A
7、解析 选项 A不正确 .理由:正方形的边长为 10,所以对角线 =10 14,因为 1514,所以这个图形不可能存在 .2故选 A.5.A 解析 连接 BF,E 为 AB中点, FE AB,EF 垂直平分 AB,AF=BF.AF= 2AE,AF=AB ,AF=BF=AB , ABF为等边三角形, FBA=60,BF=BC, FCB= BFC=15, 四边形 ABCD为正方形, DBC=45,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得 DOC=15+45=60.6.B 解析 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征 . 是菱形的特征; 是矩形的特征; 是矩
8、形的特征, 是菱形的特征 .而 B中都是矩形的特征 .故选 B.7.45 解析 由题意得, AB=AE, BAD=90, DAE= AED=60,所以 BAE=150, AEB=15.所以 BED= AED- AEB=60-15=45.78.2 解析 连接 OP,设正方形的边长为 a(a0),则 ON= ,PN=a,在 Rt OPN中, ON2+PN2=OP2,即 2+a2=( )2,解得2 2 5a=2.9.8 解析 四边形 ACDF是正方形, AC=AF , CAF=90, CAE+ BAF=90,又 CAE+ ECA=90, ECA= BAF,则在 ACE和 FAB中, =90,=,=,
9、 ACE FAB(AAS),AB=CE= 4, 阴影部分的面积 = ABCE= 44=8.12 1210.30或 150 解析 如图 , ADE是等边三角形,DE=DA , DEA=1 =60. 四边形 ABCD是正方形, DC=DA ,2 =90. CDE=150,DE=DC, 3 = (180-150)=15.12同理可求得4 =15. BEC=30.如图 , ADE是等边三角形, DE=DA ,1 =2 =60, 四边形 ABCD是正方形, DC=DA , CDA=90.DE=DC ,3 =30, 4 = (180-30)=75.12同理可求得5 =75. BEC=360245 =150
10、.故答案为 30或 150.11.4600 解析 连接 GC,由四边形 ABCD为正方形可得 ADG CDG,所以 GC=AG,由四边形 GECF为矩形可得 GC=EF,所以 EF=AG,因为小敏行走的路线为 B A G E,所以 BA+AG+GE=3100 m.因为小聪行走的路线为 B A D E F,所以8BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).12.证明: 四边形 ABCD是矩形, B= D= C=90, AEF是等边三角形,AE=AF , AEF= AFE=60, CEF=45, CFE= CEF=45, AFD= AEB=180-45-
11、60=75, ABE ADF,AB=AD , 矩形 ABCD是正方形 .13.证明:取 AB的中点 H,连接 EH. AEF=90, 2 + AEB=90, 四边形 ABCD是正方形, 1 + AEB=90, 1 =2,E 是 BC的中点, H是 AB的中点,BH=BE ,AH=CE,9 BHE=45,CF 是 DCG的平分线, FCG=45, AHE= ECF=135,在 AHE和 ECF中, 1=2,=,=, AHE ECF(ASA),AE=EF.14.解析 将 PBC绕点 B逆时针旋转 90得到 PBA,连接 PP,得到等腰直角三角形 BPP,从而得到PP=2 , BPP=45,又 AP
12、=CP=3,AP=1,AP 2+PP2=1+8=9=PA2, 根据勾股定理的逆定理得 APP=90,从而求出2 APB=45+90=135.将 PBC绕点 B逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP,方法和上述类似,求出 APB=45.解:【问题解决】如图 ,将 PBC绕点 B逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP.PB=PB= 2, PBP=90,PP= 2 , BPP=45.2又 AP=CP=3,AP=1,AP 2+PP2=1+8=9=PA2, APP=90, APB=45+90=135.10【类比探究】如图 ,将 PBC绕点 B逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP.PB=PB= 1, PBP=90,PP= , BPP=45.2又 AP=CP= ,AP=3,11AP 2+PP2=9+2=11=PA2, APP=90, APB=90-45=45.
