1、1专题能力训练 19 概率一、能力突破训练1.(2018 全国 ,文 5)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率为( )A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.32.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒 .若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.710 3103.有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.4.在
2、长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 ( )A. B.C. D.5.如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常) .若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是( )A.1- B. -14 4C.2- D.4 46.记函数 f(x)= 的定义域为 D.在区间 -4,5上随机取一个数 x,则 x D 的概率是 6+-2. 7.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a,
3、从集合1,3,5中随机抽取一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(-1,1)垂直的概率为 . 8.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品 .若生产中出现乙级品的概率为 0.03,丙级品的概率为 0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 . 9.为了考察某厂 2 000 名工人的生产技能情况,随机抽查了该厂 n 名工人某天的产量(单位:件),整理后得到如下的频率分布直方图(产量的区间分别为10,15),15,20),20,25),25,30),30,35),其中产量在20,25)的工人有 6 名 .(1)求这一天产量不小于 25 的工人数;(2)该厂规定从产量低于 20 件的工
4、人中选取 2 名工人进行培训,求这两名工人不在同一分组的概率 .210.某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中 “”表示购买,“ ”表示未购买 .商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?11.某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有 5 名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的
5、所有同学都进行了测评,该班的 A,B两个小组所有同学所得分数(单位:分,百分制)的茎叶图如图,其中 B 组一同学的分数已被污损,但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分 .(1)若在 B 组学生中随机挑选 1 人,求其得分超过 85 分的概率;(2)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m,n,求 |m-n|8 的概率 .二、思维提升训练12.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.13.若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、
6、戊中录用 3 人,这 5 人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.91014.记集合 A=(x,y)|x2+y24和集合 B=(x,y)|x+y-20, x0, y0表示的平面区域分别为 1和 2,若在区域 1内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 2的概率为 . 15.某校高二(1)班参加校数学竞赛,学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求高二(1)班参加校数学竞赛人数及分数在80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中80,90)间的矩形的高;3(2)若要从分数在80,100之间的学生中任选两人进
7、行某项研究,求至少有一人分数在90,100之间的概率 .4专题能力训练 19 概率一、能力突破训练1.D 解析 设 2 名男同学为男 1,男 2,3 名女同学为女 1,女 2,女 3,则任选两人共有(男 1,女 1),(男 1,女 2),(男 1,女 3),(男 1,男 2),(男 2,女 1),(男 2,女 2)(男 2,女 3)(女 1,女 2),(女 1,女 3),(女 2,女 3)共 10 种,其中选中两人都为女同学共(女 1,女 2),(女 1,女 3)、(女 2,女 3)3 种,故 P= =0.3.3102.B 解析 因为红灯持续时间为 40 秒,所以这名行人至少需要等待 15 秒
8、才出现绿灯的概率为 ,故选 B.40-1540 =583.C 解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10 种不同情况,记“取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔”为事件 A,则事件 A 包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4 个基本事件,则 P(A)= .故选 C.410=254.C 解析 设 AC=x cm,020,则 x2-12x+200,解得 2x10,所求概率为 P= .10-212 =235.A 解析 由题设, S 扇形 ADE=S 扇形 CBF= 12= .4 4又 S
9、 矩形 ABCD=21=2, 该地点无信号的区域面积 S=S 矩形 ABCD-2 =2- ,因此所求事件的概率4 2P= =1- .矩形 =2-22 46. 解析 由 6+x-x20,即 x2-x-60 得 -2 x3,所以 D=-2,3-4,5,由几何概型的概率公式得 x D 的概率 P= ,答案为 .3-(-2)5-(-4)=597. 解析 所有的( a,b)可能取值有 12 个,由向量 m 与向量 n 垂直,得 mn=0,即 a=b.故满足向量 m 与向量 n 垂直的( a,b)共有 2 个:(3,3),(5,5),则所求概率为 .212=168.0.96 解析 记“生产中出现甲级品、乙
10、级品、丙级品”分别为事件 A,B,C.则 A,B,C 彼此互斥,由题意可得 P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以 P(A)=1-P(B C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.9.解 (1)由题意得产量为20,25)的频率为 0.065=0.3,所以 n= =20,所以这一天产量不小于 2560.3的工人数为(0 .05+0.03)520=8.(2)由题意得,产量在10,15)的工人数为 200.025=2,记他们分别是 A,B,产量在15,20)的工人数为 200.045=4,记他们分别是 a,b,c,d,则从产量低于 20 件的工人中选取 2 位工人的结果为
11、(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有 15 种不同结果 .其中 2 名工人不在同一组的为(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),有 8 种,故所求概率为 P= .81510.解 (1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2.2001 000(2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中,有 100 位
12、顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品 .5所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 =0.3.100+2001 000(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为2001 000=0.6,100+200+3001 000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1.1001 000所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大 .11.解 (1)A 组学生的平均分为 =85(分),94+88+86+80+775 B 组学生平均分为 86 分,设
13、被污损的数为 x,由 =86,91+93+83+80+755x= 8,则 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, 故在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P= .35(2)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77,在 A 组学生中随机抽取 2 名同学,其分数组成的基本事件( m,n)有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86), (88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77),共 10 个,随机抽取 2 名同学的分数 m,n 满足 |m-n|8 的事件有(94,88),(94,86
14、),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77),共 6 个 .故学生得分 m,n 满足 |m-n|8 的概率 P= .610=35二、思维提升训练12.B 解析 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球分别记为 a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有(a 1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共 15 种;满足两球颜色为一白一黑的有 6 种,概率等于 .615=2513
15、.D 解析 记事件 A:甲或乙被录用 .从 5 人中录用 3 人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种可能,而 A 的对立事件 仅有(丙,丁,戊)一种可能, A 的对立事件 的概率为 P( )= ,故 110P(A)=1-P( )= .91014. 解析 作圆 O:x2+y2=4,区域 1就是圆 O 内部(含边界),其面积为 4 .区域 2就是图中12OAB 内部(含边界),且 S OAB=22=2.由几何概型,点 M 落在区域 2的概率 P= .圆
16、 =12615.解 (1)因为分数在50,60)之间的频数为 2,频率为 0.00810=0.08,所以高二(1)班参加校数学竞赛人数为 =25.20.08所以分数在80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4.频率分布直方图中80,90)间的矩形的高为 10=0.016.425(2)设至少有一人分数在90,100之间为事件 A.将80,90)之间的 4 人编号为 1,2,3,4,90,100之间的 2 人编号为 5,6.在80,100之间任取两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个 .其中,至少有一个在90,100之间的基本事件有 9 个 .根据古典概型概率计算公式,得 P(A)= .915=35
