1、1专题能力训练 12 数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列 an是等差数列, a1=tan 225,a5=13a1,设 Sn为数列( -1)nan的前 n 项和,则 S2 016=( )A. 2 016 B.-2 016 C.3 024 D.-3 0242.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,数列 bn满足 bn= (nN *),Tn是数列 bn的前1 +1n 项和,则 T9等于( )A. B. C. D.919 1819 2021 9403.已知数列 an的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=( )A.15 B.17 C.34 D.3984.已
2、知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x)(xR),且 f(1)=,则数列 f(n)(nN *)前 20 项的和为( )A.305 B.315 C.325 D.3355.已知数列 an,构造一个新数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为 1,公比为的等比数列,则数列 an的通项公式为( )A.an= ,nN *3232(13)B.an= ,nN *32+32(13)C.an=1,=1,32+32(13),2,且 *D.an=1,nN *6.植树节,某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边
3、,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m. 7.数列 an满足 an+1= ,a11=2,则 a1= . 11-8.数列 an满足 a1+ a2+ an=2n+5,nN *,则 an= . 122 129.设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *.(1)求通项公式 an;(2)求数列 |an-n-2|的前 n 项和 .10.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,等比数列 bn的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若 a3+b3=5,求 bn的通项公式;(2)若 T3=21,求 S3
4、.211.已知数列 an和 bn满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(nN *),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN *).(1)求 an与 bn;(2)记数列 anbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn.二、思维提升训练12.给出数列 , , ,在这个数列中 ,第 50 个值等于 1 的项的序号是( )11,12,21,13,22,31 1, 2-1A.4 900 B.4 901 C.5 000 D.5 00113.设 Sn是数列 an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 14.设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=2,且 a
5、n+2=3Sn-Sn+1+3,nN *.(1)证明: an+2=3an;(2)求 Sn.15.已知 an是等比数列,前 n 项和为 Sn(nN *),且 ,S6=63.1112=23(1)求 an的通项公式;(2)若对任意的 nN *,bn是 log2an和 log2an+1的等差中项,求数列( -1)n 的前 2n 项和 .216.已知数列 an满足 an+2=qan(q 为实数,且 q1), nN *,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 .(1)求 q 的值和 an的通项公式;(2)设 bn= ,nN *,求数列 bn的前 n 项和 .222-13专题能力
6、训练 12 数列的通项与求和一、能力突破训练1.C 解析 a 1=tan 225=1,a 5=13a1=13,则公差 d= =3,a n=3n-2.5-15-1=13-14又( -1)nan=(-1)n(3n-2),S 2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.D 解析 数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n, 当 n=1 时, a1=2;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2n,a n=2n(nN *),b n= ,1+1= 12(2+2)=14(1- 1+1)T9
7、= + .14(1-12) +(12-13) (19- 110)=14(1- 110)=9403.C 解析 S n=n2-2n-1,a 1=S1=12-2-1=-2.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.a n=-2,=1,2-3,2.a 3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.4.D 解析 f (1)=,f(2)= ,32+52f(3)= ,32+32+52f(n)= +f(n-1),32 f(n)是以 为首项, 为公差的等差数列 .
8、52 32S 20=20 =335.52+20(20-1)2 325.A 解析 因为数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公比为的等比数列,所以 an-an-1= ,n2 .(13)-1所以当 n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+ +13+(13)2 (13)-1= .1-(13)1-13=3232(13)4又当 n=1 时, an= =1,3232(13)则 an= ,nN *.3232(13)6.2 000 解析 设放在第 x 个坑边,则 S=20(|x-1|+|x-2|+|20-x|).由式子的对称性讨论,当 x=10
9、 或 11 时, S=2 000.当 x=9 或 12 时, S=20102=2 040;当 x=1 或 19 时, S=3 800.S min=2 000 m.7. 解析 由 a11=2 及 an+1= ,得 a10=.11-同理 a9=-1,a8=2,a7= ,.12所以数列 an是周期为 3 的数列 .所以 a1=a10= .128. 解析 在 a1+ a2+ an=2n+5 中用( n-1)代换 n 得 a1+ a2+ an-1=2(n-1)14,=1,2+1,2 122 12 122 12-1+5(n2),两式相减,得 an=2,an=2n+1,又 a1=7,即 a1=14,故 an
10、=12 14,=1,2+1,2.9.解 (1)由题意得 1+2=4,2=21+1,则 1=1,2=3.又当 n2 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得 an+1=3an.所以,数列 an的通项公式为 an=3n-1,nN *.(2)设 bn=|3n-1-n-2|,nN *,b1=2,b2=1.当 n3 时,由于 3n-1n+2,故 bn=3n-1-n-2,n3 .设数列 bn的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3.当 n3 时, Tn=3+ ,9(1-3-2)1-3 (+7)(-2)2 =3-2-5+112所以 Tn=2,=1,3-2-5+112 ,2
11、, *.10.解 设 an的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由 a2+b2=2 得 d+q=3. (1)由 a3+b3=5,得 2d+q2=6. 联立 和 解得 (舍去),=3,=0 =1,=2.因此 bn的通项公式为 bn=2n-1.(2)由 b1=1,T3=21 得 q2+q-20=0,解得 q=-5 或 q=4.当 q=-5 时,由 得 d=8,则 S3=21.当 q=4 时,由 得 d=-1,则 S3=-6.11.解 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(nN *).由题意知:当 n=1 时, b1=b2-1,故 b2=2.5
12、当 n2 时, bn=bn+1-bn,1整理得 ,所以 bn=n(nN *).+1+1=(2)由(1)知 anbn=n2n,因此 Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以 Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故 Tn=(n-1)2n+1+2(nN *).二、思维提升训练12.B 解析 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的和为 4,第3 个 1 是分子、分母的和为 6,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、分母的和为 2 的有 1 项,分子、分母的和为 3 的有 2 项,分子、分
13、母的和为 4 的有 3 项,分子、分母的和为 99的有 98 项,分子、分母的和为 100 的项依次是: , , ,第 50 个 1 是其中第199,298,397 5050,5149 99150 项,在数列中的序号为 1+2+3+98+50= +50=4 901.98(1+98)213.- 解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得 =1,即 =-1,则 为等差数列,首项为1 1+1 1+11 1=-1,公差为 d=-1, =-n,S n=-.11 114.(1)证明 由条件,对任意 nN *,有 an+2=3Sn-Sn+1+3,因而对任意 nN *,n2,有 an+1=3Sn-1
14、-Sn+3.两式相减,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n2 .又 a1=1,a2=2,所以 a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切 nN *,an+2=3an.(2)解 由(1)知, an0,所以 =3,于是数列 a2n-1是首项 a1=1,公比为 3 的等比数列;数列 a2n+2是首项 a2=2,公比为 3 的等比数列 .因此 a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是 S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)= ,3(
15、3-1)2从而 S2n-1=S2n-a2n= -23n-1= (53n-2-1).3(3-1)2 32综上所述, Sn=32(53-32 -1),当是奇数,32(32-1),当是偶数 . 15.解 (1)设数列 an的公比为 q.由已知,有 ,解得 q=2 或 q=-1.1111= 2126又由 S6=a1 =63,知 q -1,1-61-所以 a1 =63,得 a1=1.所以 an=2n-1.1-261-2(2)由题意,得 bn= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n- ,12 12 12即 bn是首项为 ,公差为 1 的等差数列 .12设数列( -1
16、)n 的前 n 项和为 Tn,则 T2n=(- )+(- )+(- )2 21+22 23+24 22-1+22=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n= =2n2.2(1+2)216.解 (1)由已知,有( a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q1,故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2.当 n=2k-1(kN *)时, an=a2k-1=2k-1= ;2-12当 n=2k(kN *)时, an=a2k=2k= .22所以, an的通项公式为 an=2-12,为奇数,22,为偶数 . (2)由(1)得 bn= .设 bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 +2 +3 +(n-1)222-1= 2-1 120 121 122 +n ,12-2 12-1Sn=1 +2 +3 +(n-1) +n ,12 121 122 123 12-1 12上述两式相减,得 Sn=1+ + =2- ,整理得, Sn=4-12 12+122 12-12=1- 121-122 222.+22-1所以,数列 bn的前 n 项和为 4- ,nN *.+22-1
