1、1专题突破练 14 4.14.2 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)一、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏2.(2018 辽宁大连二模,理 4)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,S2=-1,S4=-5,则 S6=( )A.-9 B.-21 C.-25 D.-633.公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为
2、Sn.若 a4是 a3与 a7的等比中项, S8=16,则 S10等于( )A.18 B.24 C.30 D.604.(2018 河北唐山三模,理 6)数列 an的首项 a1=1,对于任意 m,nN *,有 an+m=an+3m,则 an前 5 项和S5=( )A.121 B.25 C.31 D.355.(2018 山东潍坊二模,理 4)设数列 an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=-n2-n,则数列的前 40 项的和为( )A. B.- C. D.-26.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )A.3 B.4 C.5 D.67.(20
3、18 吉林长春外国语学校二模,理 8)已知数列 an的前 n 项和 Sn=2n-1,则数列的前 10 项和为( )A.410-1 B.(210-1)2C.(410-1) D.(210-1)8.设等差数列 an满足 3a8=5a15,且 a10,Sn为其前 n 项和,则数列 Sn的最大项为( )A.S23 B.S24C.S25 D.S269.(2018 全国高考必刷模拟一,理 11)数列 an满足 a1=,an+1-1=an(an-1)(nN *),Sn=+,则 Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.0,1,2 B.0,1,2,3C.1,2 D.0,2二、填空题(共 3 小题,满分 1
4、5 分)10.(2018 湖南衡阳一模,文 15)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2n,则 Sn= . 11.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6成等差数列,且 a2+a5=4,则 a8的值为 . 12.(2018 辽宁抚顺一模,文 16)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=Sn+2,则 a9的值为 .三、解答题(共 3 个题,分别满分为 13 分,13 分,14 分)13.已知数列log 2(an-1)(nN *)为等差数列,且 a1=3,a3=9.(1)求数列 an的通项公式;(2)证明: +0,d0,a n+1an
5、,因此数列 an单调递增 .a n+1-1=an(an-1),S n=+=3-由 an+1-1=an(an-1)(nN *),得 a2-1=,a 2=,同理可得 a3=,a4=当 n=1 时, S1=3-,其整数部分为 0,当 n=2 时, S2=3-=3-=1+,其整数部分为 1,6当 n=2 时, S3=3-=2+,其整数部分为 2,因数列 an单调递增,当 n4 时,0 1,所以当 n4 时, Sn=3-(2,3),所以 Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是0,1,2 .10.n2n 解析 S n=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得 Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除
6、以 2n,则 =1.又 S1=2a1-2=a1,可得 a1=S1=2, 数列是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 =n,所以 Sn=n2n.11.2 解析 等比数列 an的前 n 项和为 Sn,S3,S9,S6成等差数列,且 a2+a5=4,解得 a1q=8,q3=-,a 8=a1q7=(a1q)(q3)2=8=2.12.384 解析 当 n2 时,由 an+1=Sn+2,得 an=Sn-1+2,两式相减,得 an+1-an=an,a n+1=2an.当 n=2 时, a2=S1+2=3,所以数列 an中,当 n2 时,是以 2 为公比的等比数列,a 9=a227=3128=384.13
7、.(1)解 设等差数列log 2(an-1)的公差为 d.由 a1=3,a3=9,得 log22+2d=log28,即 d=1. log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即 an=2n+1.(2)证明 ,+=+=1-1.14.解 (1)在 3an=2Sn+3 中,取 n=1,得 a1=3,且 3an+1=2Sn+1+3,7两式相减,得 3an+1-3an=2an+1,a n+1=3an.a 10, 数列 an是以 3 为公比的等比数列, a n=33n-1=3n.(2)由(1)得 bn=log3an=n,T n=+=1-15.解 (1)由 2an=an+1+an-1(n2, nN *),得数列 an为等差数列,且首项为 1,公差为 a2-a1=1,所以an=n.(2) 2nbn+1=(n+1)bn,(n1), 数列是以 =1 为首项,为公比的等比数列,即,从而 bn=,Tn=+Tn=+,由 - ,得 Tn=1+=2-,T n=4-
