1、1专题突破练 16 空间中的垂直与空间角1.(2018 湖南衡阳二模,理 18)如图, EA平面 ABC,DB平面 ABC, ABC 是等边三角形, AC=2AE,M 是AB 的中点 .(1)证明: CM DM;(2)若直线 DM 与平面 ABC 所成角的余弦值为,求二面角 B-CD-E 的正弦值 .2.(2018 北京卷,理 16)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, CC1平面 ABC,D,E,F,G 分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点, AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证: AC平面 BEF;(2)求二面角 B-CD-C1的余弦值;2(3)证明:直线 FG 与平面 B
2、CD 相交 .33.(2018 湖南衡阳八中一模,理 19)在如图所示的五面体中,四边形 ABCD 为直角梯形, BAD= ADC=,平面 ADE平面 ABCD,EF=2DC=4AB=4, ADE 是边长为 2 的正三角形 .(1)证明: BE平面 ACF;(2)求二面角 A-BC-F 的余弦值 .4.(2018 宁夏银川一中一模,理 19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA面 ABCD,AD BC, BAD=90,AC BD,BC=1,AD=PA=2,E,F 分别为 PB,AD 的中点 .4(1)证明: AC EF;(2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值 .5.(2018
3、河北唐山三模,理 19)如图, ABCD 中, BC=2AB=4, ABC=60,PA AD,E,F 分别为 BC,PE 的中点, AF平面 PED.(1)求证: PA平面 ABCD;(2)求直线 BF 与平面 AFD 所成角的正弦值 .56.如图, BCD 是等边三角形, AB=AD, BAD=90,将 BCD 沿 BD 折叠到 BCD 的位置,使得AD CB.(1)求证: AD AC;(2)若 M,N 分别是 BD,CB 的中点,求二面角 N-AM-B 的余弦值 .67.(2018 山东潍坊一模,理 18)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中, CC1=4,AB=2,AC=2, BAC=
4、45,点 M 是棱 AA1上不同于 A,A1的动点 .(1)证明: BC B1M;(2)若平面 MB1C 把此棱柱分成体积相等的两部分,求此时二面角 M-B1C-A 的余弦值 .参考答案专题突破练 16 空间中的垂直与空间角71.解 (1)因为 ABC 是等边三角形, M 是 AB 的中点,所以 CM MB.DB 平面 ABC,CM平面 ABC,DB CM.DB MB=B,CM 平面 DMB.DM 平面 DMB,CM DM.(2)解法 1:以点 M 为坐标原点, MC 所在直线为 x 轴, MB 所在直线为 y 轴,过 M 且与直线 BD 平行的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 M
5、-xyz.因为 DB平面 ABC,所以 DMB 为直线 DM 与平面 ABC 所成的角 .由题意得 cos DMB=, tan DMB=2,即 BD=2MB,从而 BD=AC.不妨设 AC=2,又 AC=2AE,则 CM=,AE=1.故 B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1).于是 =(,-1,0),=(0,0,2),=(-,-1,1),=(-,1,2),设平面 BCD 与平面 CDE 的法向量分别为 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),由令 x1=1,得 y1=, m=(1,0).8由令 x2=1,得 y2=-,z2= n= cos=0.故二面
6、角 B-CD-E 的正弦值为 1.解法 2:DB 平面 ABC, DMB 为直线 DM 与平面 ABC 所成的角 .由题意得 cos DMB=, tan DMB=2,即 BD=2MB,从而 BD=AC.不妨设 AC=2,又 AC=2AE,则 CM=,AE=1,AB=BC=BD=2.由于 EA平面 ABC,DB平面 ABC,则 EA BD.取 BD 的中点 N,连接 EN,则 EN=AB=2.在 Rt END 中, ED=,在 Rt EAC 中, EC=,在 Rt CBD 中, CD=2,取 CD 的中点 P,连接 EP,BP,BE,则 EP CD,BP CD.所以 EPB 为二面角 B-CD-
7、E 的平面角 .在 Rt EPC 中, EP=,在 Rt CBD 中, BP=CD=,在 Rt EAB 中, EB=,EP 2+BP2=5=EB2, EPB=90.故二面角 B-CD-E 的正弦值为 1.2.(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1中,CC 1平面 ABC, 四边形 A1ACC1为矩形 .又 E,F 分别为 AC,A1C1的中点,9AC EF.AB=BC ,AC BE,AC 平面 BEF.(2)解 由(1)知 AC EF,AC BE,EF CC1.CC 1平面 ABC,EF 平面 ABC.BE 平面 ABC,EF BE.建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz.由题意得 B(
8、0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0).设平面 BCD 的法向量为 n=(a,b,c),则令 a=2,则 b=-1,c=-4, 平面 BCD 的法向量 n=(2,-1,-4),又平面 CDC1的法向量为 =(0,2,0), cos=-由图可得二面角 B-CD-C1为钝角,10 二面角 B-CD-C1的余弦值为 -(3)证明 平面 BCD 的法向量为 n=(2,-1,-4),G (0,2,1),F(0,0,2),=(0,-2,1), n=-2, n 与不垂直,FG 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内,
9、FG 与平面 BCD 相交 .3.(1)证明 取 AD 的中点 O,以 O 为原点, OA 为 x 轴,过 O 作 AB 的平行线为 y 轴, OE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,),=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),=1-4+3=0,=2-2=0,BE AF,BE AC.又 AF AC=A,BE 平面 ACF.(2)解 =(-2,1,0),=(-1,3,).设平面 BCF 的法向量 n=(x,y,z),则取 x=1,得 n=易知平面 ABC 的一个法向量 m=(0,0,1).设二
10、面角 A-BC-F 的平面角为 ,则 cos =- 二面角A-BC-F 的余弦值为 -4.解 (1)易知 AB,AD,AP 两两垂直 .如图,以 A 为坐标原点, AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 .11设 AB=t,则相关各点的坐标为: A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E,F(0,1,0),从而 =(t,1,0),=(-t,2,0).因为 AC BD,所以 =-t2+2+0=0.解得 t=或 t=-(舍去) .于是 =(,1,0).因为 =-1+1+0=0,所以,即 AC EF.(2)由(
11、1)知, =(,1,-2),=(0,2,-2).设 n=(x,y,z)是平面 PCD 的一个法向量,则令 z=,则 n=(1,).设直线 EF 与平面 PCD 所成的角为 ,则 sin =| cos|=即直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值为5.解 (1)连接 AE,因为 AF平面 PED,ED平面 PED,所以 AF ED,在 ABCD 中, BC=2AB=4, ABC=60,AE= 2,ED=2,从而有 AE2+ED2=AD2.AE ED.AF AE=A,ED 平面 PAE.PA 平面 PAE,12ED PA.PA AD,AD ED=D,PA 平面 ABCD.(2)以 A 为坐标原点
12、,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),D(0,4,0),B(,-1,0),E(,1,0).AF 平面 PED,AF PE.F 为 PE 的中点,PA=AE= 2,P (0,0,2),F=(0,4,0),设平面 AFD 的法向量为 n=(x,y,z),由得令 z=1,得 n=设直线 BF 与平面 AFD 所成的角为 ,则 sin =| cos|=即直线 BF 与平面 AFD 所成角的正弦值为6.解 (1)证明: BAD=90,AD AB.CB AD,且 AB CB=B,AD 平面 CAB.AC 平面 CAB,13AD AC.(2) BCD 是等边三角形, AB=AD, BAD=9
13、0,不妨设 AB=1,则 BC=CD=BD=M ,N 分别为 BD,CB 的中点,由此以 A 为原点,以 AB,AD,AC所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.则有 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),M,N ,0, ,设平面 AMN 的法向量为 m=(x,y,z),则即令 x=1,则 y=z=-1, m=(1,-1,-1).又平面 ABM 的一个法向量是 n=(0,0,1), cos=-, 二面角 N-AM-B 的余弦值为7.(1)证明 在 ABC 中,由余弦定理得, BC2=4+8-222cos 45=4,BC= 2,则有
14、 AB2+BC2=8=AC2, ABC=90,BC AB.又 BC BB1,BB1 AB=B,BC 平面 ABB1A1,又 B1M平面 ABB1A1,14BC B1M.(2)解 由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥 C-ABB1M 和四棱锥 B1-A1MCC1.由(1)知四棱锥 C-ABB1M 的高为 BC=2,224=8,V 柱 =4,又 BC=4,=6=2,AM= 2.此时 M 为 AA1中点 .以点 B 为坐标原点,的方向为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz.A (2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),M(2,0,2),=(0,-2,4),=(2,0,-2),=(-2,2,0),设 n1=(x1,y1,z1)是平面 CB1M 的一个法向量,即令 z1=1,可得 n1=(1,2,1),设 n2=(x2,y2,z2)是平面 ACB1的一个法向量,即令 z2=1,可得 n2=(2,2,1), cos=所以二面角 M-B1C-A 的余弦值等于
