1、1专题突破练 17 5.15.3 组合练(限时 90分钟,满分 100分)一、选择题(共 9小题,满分 45分)1.(2018河北衡水中学考前仿真,文 3)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )2.(2018宁夏银川一中一模,理 4)已知正三角形 ABC的边长为 a,那么 ABC的平面直观图 ABC的面积为( )A.a2 B.a2C.a2 D.a23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )2A. B. C. D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm
2、,高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.5.(2018河南郑州三模,理 7)某几何体的三视图如图所示,记 A为此几何体所有棱的长度构成的集合,则( )A.3 A B.5 AC.2 A D.4 A6.(2018河北唐山三模,理 7)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为( )3A.4 B.8 C. D.7.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为, D为 BC的中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.8.(2018河南濮阳一模,理 7)已知三棱锥 A-BCD中, ABD与 BCD是边
3、长为 2的等边三角形且二面角 A-BD-C为直二面角,则三棱锥 A-BCD的外接球的表面积为( )A. B.5 C.6 D.9.(2018百校联盟四月联考,理 12)在三棱锥 A-BCD中, AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB BD,则三棱锥 A-BCD外接球的体积的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题(共 3小题,满分 15分)10.(2018江苏卷,10)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.(2018天津卷,理 11)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,除面 ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点 E,F,
4、G,H,M(如图),则四棱锥 M-EFGH的体积为 . 412.正 ABC的三个顶点都在球 O的球面上, AB=AC=2,若三棱锥 O-ABC的体积为 2,则该球的表面积为 . 三、解答题(共 3个题,分别满分为 13分,13 分,14 分)13.(2018河北唐山一模,理 19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面 A1B1C平面 AA1C1C, BAC=90.(1)证明: AC CA1;(2)若 A1B1C是正三角形, AB=2AC=2,求二面角 A1-AB-C的大小 .14.(2018河北唐山三模,理 19)如图,四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是平行四边形, BAC= PA
5、D= PCD=.5(1)求证:平面 PAB平面 ABCD;(2)若 AB=AC=PA=3,E为 BC的中点, F为棱 PB上的点, PD平面 AEF,求二面角 A-DF-E的余弦值 .15.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD为矩形,直线 AF平面 ABCD,EF AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,点 P在棱 DF上 .(1)求证: AD BF;(2)若 P是 DF的中点,求异面直线 BE与 CP所成角的余弦值;6(3)若,求二面角 D-AP-C的余弦值 .参考答案专题突破练 17 5.15.3 组合练1.A 解析 四棱锥的正视图和俯视图可知几何体的直观图如图所示,其侧视图为选项 A.
6、2.D 解析 如图 所示的平面图形和直观图 .由 可知, AB=AB=a,OC=OC=a,7在图 中作 CD AB于 D,则 CD=OC=a.S ABC=ABCD=aa=a2.3.B 解析 由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面 AED平面 BCDE,四棱锥 A-BCDE的高为 1,四边形 BCDE是边长为 1的正方形,则 S AED=11=,S ABC=S ABE=1,S ACD=1,故选 B.4.C 解析 由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示 .切削掉部分的体积 V1= 326- 224- 322=20(cm 3),原来毛坯体积 V2= 326=54(cm 3).故
7、所求比值为5.D 解析 根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥,如图所示,四边形 ABCD是一个边长为 4的正方形,且 AF面 ABCD,DE AF,DE=4,AF=2,AF AB,DE DC,DE BD,EC= 4,EF=FB=2,BE=4A 为此几何体所有棱的长度构成的集合, A= 2,4,4,4,2.86.C 解析 由三棱锥的三视图得其直观图如下:几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥 A-BCD,BC=CD=2,三棱锥的高为 2,所以三棱锥的体积为 V=222=7.C 解析 D 是等边三角形 ABC的边 BC的中点, AD BC.又 ABC-A1B1C1为正三棱柱,AD 平面 B
8、B1C1C. 四边形 BB1C1C为矩形,2又 AD=2,AD=1.故选 C.8.D 解析 如图所示 . ABD与 BCD是边长为 2的等边三角形,且二面角 A-BD-C为直二面角,设 F,E分别为 ABD和 BCD的中心,则球心 O为 ABD和 BCD的过中心的垂线的交点,所以OF=OE=FG=2=ED=2=,则球半径 r=,则 S=49.C 解析 由 AB=AC,DB=DC,得 ABD ACD,所以 AC CD,所以 AD中点 O为三棱锥 A-BCD外接球的球心,其球的半径 R=所以三棱锥 A-BCD外接球的体积 V)3=故选 C.910 解析 由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组
9、合体,且正四棱锥的高为 1,底面正方形的边长为,所以该多面体的体积为 2()21=11 解析 由题意可知,四棱锥 M-EFGH的底面 EFGH为正方形且边长为,其高为,所以 V 四棱锥 M-EFGH=12 解析 正三角形 ABC的三个顶点都在以 O为球心的球面上,且 AB=AC=BC=2,取 BC中点 D,连接AD,OD,过 O作 OE平面 ABC,则 OE AD=E,如图所示:AD= ,AE=AD=,S ABC=BCAD=2, 三棱锥 O-ABC的体积为 2,OE=2,解得 OE=2, 球的半径为 OA=, 球的表面积为 S=4 OA2=13.解 (1)过点 B1作 A1C的垂线,垂足为 O
10、,由平面 A1B1C平面 AA1C1C,平面 A1B1C平面 AA1C1C=A1C,得 B1O平面 AA1C1C,又 AC平面 AA1C1C,得 B1O AC.由 BAC=90,AB A1B1,得 A1B1 AC.又 B1O A1B1=B1,得 AC平面 A1B1C.又 CA1平面 A1B1C,得 AC CA1.(2)以 C为坐标原点,的方向为 x轴正方向, |为单位长度 1,建立空间直角坐标系 C-xyz.10由已知可得 A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1,).所以 =(1,0,0),=(-1,2,0),=(0,-1,).设 n=(x,y,z)是平面 A1AB的一个法向量,则
11、可取 n=(2,1).设 m=(x,y,z)是平面 ABC的一个法向量,则可取 m=(0,1).则 cos=又因为二面角 A1-AB-C为锐二面角,所以二面角 A1-AB-C的大小为14.解 (1) AB CD,PC CD,AB PC.AB AC,AC PC=C,AB 平面 PAC.AB PA.PA AD,AB AD=A,PA 平面 ABCD,PA平面 PAB, 平面 PAB平面 ABCD.(2)连接 BD,交 AE于点 O,连接 OF,E 为 BC的中点, BC AD,PD 平面 AEF,PD平面 PBD,平面 AEF平面 PBD=OF,PD OF,以 AB,AC,AP所在直线分别为x轴,
12、y轴, z轴建立空间直角坐标系 A-xyz,11则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3),E,F(2,0,1),设平面 ADF的一个法向量m=(x1,y1,z1).=(2,0,1),=(-3,3,0),由 m=0,m=0得取 m=(1,1,-2).设平面 DEF的一个法向量 n=(x2,y2,z2).= ,-,1 ,由 n=0,n=0得取 n=(1,3,4).cos=- 二面角 A-DF-E为钝二面角, 二面角 A-DF-E的余弦值为 -15.(1)证明 AF 平面 ABCD,AF AD.又 AD AB,AB AF=A,AD 平面 ABEF
13、.又 BF平面 ABEF,AD BF.(2)解 直线 AF平面 ABCD,AB,AD平面 ABCD,AF AB,AF AD.又 AD AB, 以 A为原点, AB,AD,AF所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴,建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),E,P,C(1,2,0),= -,0,1 ,设异面直线 BE与 CP所成角为 ,则 cos = , 异面直线 BE与 CP所成角的余弦值为(3)解 由(2)得 AB平面 ADF, 平面 ADF的一个法向量 n1=(1,0,0).由知 P为 FD的三等分点,且此时 P在平面 APC中, =(1,2,0). 平面 APC的一个法向量 n2=(-2,1,-1).12| cos|=又二面角 D-AP-C为锐角, 该二面角的余弦值为
