1、17.1 计数原理、二项式定理【课时作业】A 级1设 M， N 是两个非空集合，定义 MN( a， b)|a M， b N，若 P0,1,2,3，Q1,2,3,4,5，则 PQ 中元素的个数是( )A4 B9C20 D24解析： 依题意， a 有 4 种取法， b 有 5 种取法，由分步乘法计数原理得，有4520 种不同取法，共有 20 个不同元素，故选 C.答案： C2满足 m， n1,0,1,2,3，且关于 x 的方程 mx22 x n0 有实数解的有序数对(m， n)的个数为( )A17 B14C13 D12解析： 当 m0 时，2 x n0 x ，有序数对(0， n)有 5 个；当 m
2、0 时，n2 44 mn0 mn1，有序数对(1， n)有 5 个，(1， n)有 3 个，(2， n)有 2 个，(3， n)有2 个综上，共有 5532217(个)，故选 A.答案： A3已知( x2) 15 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a15(1 x)15，则 a13的值为( )A945 B945C1 024 D1 024解析： 由( x2) 153(1 x)15 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a15(1 x)15，得a13C 32(1) 13945.135答案： B4从 5 个不同的小球中选 4 个放入 3 个箱子中，要求第一个箱子放入 1 个小球，第二个箱子放入
3、 2 个小球，第三个箱子放入 1 个小球，则不同的放法共有( )A120 种 B96 种C60 种 D48 种解析： 第一步，从 5 个不同的小球中选 4 个，共有 C 5 种不同的方法；第二步，45从选出的 4 个小球中选出 1 个放入第一个箱子，共有 C 4 种不同的方法；第三步，从剩14下的 3 个小球中选出 2 个放入第二个箱子，共有 C 3 种不同的方法；第四步，将最后 123个小球放入第三个箱子，共有 C 1 种不同的方法故不同的放法共有 5431601种2答案： C5在 30的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有( )(x 13x)A4 项 B5 项C6 项 D7 项解析： 由
4、于 Tr1 C x15 r(0 r30， rN)，若展开式中 x 的幂指数为整数，r3056由通项公式可知 r 为 6 的倍数，易知 r0,6,12,18,24,30 均符合条件答案： C6在二项式 n的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2项的(x1x)系数是( )A56 B35C35 D56解析： 因为展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共有 9 项，所以n8，所以二项展开式的通项公式为 Tr1 C x8 r( x1 )r(1) rC x82 r，令 82 r2r8 r8得 r3，所以展开式中含 x2项的系数是(1) 3C 56.38答案： A7若二项式
5、6的展开式中的常数项为 m，则 (x22 x)dx( )(55x2 1x) m1A. B13 13C. D23 23解析： 二项式 6的展开式的通项公式为： Tr1 C 6 rx123 r，(55x2 1x) r6(55)令 123 r0，则 r4.即有 mC 23.46 (55)则 (x22 x)dx (x22 x)dx .m131 (13x3 x2)|31 23答案： C87 名股民每人拿出 1 万元人民币准备购买两种不同的股票，若每种股票至少有 2 人购买，则不同的购买方法有( )A110 种 B112 种C124 种 D132 种3解析： 7 名股民每人拿出 1 万元人民币购买两种不同
6、的股票，每种股票至少有 2 人购买，其方式有 2,5 和 3,4 两种组合一种股票 2 人购买，另一种股票 5 人购买，有C A 种方法；一种股票 3 人购买，另一种股票 4 人购买，有 C A 种方法因此，共有 C272 372A C A 112 种购买方法故选 B.272 372答案： B9若 m， n 均为非负整数，在做 m n 的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m n 称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是( )A100 B150C30 D300解析： 第一步，110,101，共 2
7、 种组合方式；第二步，909,918,927,936，990，共 10 种组合方式；第三步，404,413,422,431,440，共 5 种组合方式；第四步，202,211,220，共 3 种组合方式根据分步乘法计数原理知，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是 21053300.故选 D.答案： D10. 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为( )(xax)(2x 1x)A40 B20C20 D40解析： 令 x1，可得 a12， a1， 5的展开式中 项的系数为(1)(2x1x) 1x3C 22， x 项的系数为 C 23，35 25 5的展开式中的常数项为(1)
8、 3C 22C 2340.故选 D.(x1x)(2x 1x) 35 25答案： D11已知( x22 x3 y)5的展开式中 x5y2的系数为( )A60 B180C520 D540解析： ( x22 x3 y)5可看作 5 个( x22 x3 y)相乘，从中选 2 个 y，有 C 种选法，25再从剩余的三个括号里边选出 2 个 x2，最后一个括号选出 x，有 C C 种选法，所以 x5y223 1的系数为 32C C 2C 540.25 23 1答案： D12若 n(nN *)的展开式中各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若(3x1x)4P S272，则函数 f(x) n在(0，)
9、上的最小值为( )(3x1x)A144 B256C24 D643 3解析： 由题意可得 P4 n， S2 n，所以 P S4 n2 n272，得 2n16，所以n4，在(0，)上函数 f(x) n 4(2 )4144，当且仅当 x 时，(3x1x) (3x 1x) 3 33等号成立，故函数 f(x) n在(0，)上的最小值为 144，故选 A.(3x1x)答案： A13(2018浙江卷)二项式 8的展开式的常数项是_(3x 12x)解析： 由题意，得 Tr1 C ( )8 r rr8 3x (12x)C rx x rr8 (12) 8 r3C rx .r8 (12) 8 4r3令 0，得 r2
10、.8 4r3因此 T3C 2 7.28 (12) 872 14答案： 714(2017天津卷)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析： 有一个数字是偶数的四位数有 C C A 960 个14354没有偶数的四位数有 A 120 个45故这样的四位数一共有 9601201 080 个答案： 1 08015已知一个公园的形状如图所示，现有 3 种不同的植物要种在此公园的 A， B， C， D， E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_种解析： 先在 A， B， C
11、三个区域种植 3 种不同的植物，共有 A 6 种3种法，若 E 与 A 相同，最后种 D，有 1 种种法；若 E 与 C 相同，最后种 D，有 2 种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有 6(12)18 种种法答案： 18516已知 (2x1) 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x 项的系数为(xmx)_解析： 因为已知 (2x1) 5的展开式中各项系数的和为 m12，所以 m1，(xmx)所以 (2x1) 5 C (2x)5C (2x)4C (2x)3C (2x)(xmx) (x 1x) 05 15 25 352C 2xC ，45 5则该展开式中含 x 项的系数为
12、C C 441.5 35答案： 41B 级1(2018郑州市第二次质量预测)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成 A， B， C， D， E， F 六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E， F 必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有( )A240 种 B188 种C156 种 D120 种解析： 因为任务 A 必须排在前三位，任务 E， F 必须排在一起，所以可把 A 的位置固定， E， F 捆绑后分类讨论当 A 在第一位时，有 A A 48 种；4
13、2当 A 在第二位时，第一位只能是 B， C， D 中的一个， E， F 只能在 A 的后面，故有C A A 36 种；1332当 A 在第三位时，分两种情况： E， F 在 A 之前，此时应有 A A 种， E， F 在 A 之23后，此时应有 A A A 种，故而 A 在第三位时有 A A A A A 36 种2322 23 2322综上，共有 483636120 种不同的安排方案故选 D.答案： D2(2018洛阳市尖子生第一次联考)已知(1 ax by)5(a， b 为常数， aN *， bN *)的展开式中不含字母 x 的项的系数和为 243，则函数 f(x) ， x 的最2sin
14、2x b2sin(x 4) 0， 2小值为_解析： 令 x0， y1，得(1 b)5243，解得 b2.因为 x ，所以 x ，则 sin xcos x sin 1， ，0， 2 4 4， 34 2 (x 4) 26所以 f(x) 2(sin xcos x)2 sin2sin 2x b2sin(x 4) 2sin 2x 2sin x cos x 4sin xcos x 2sin x cos x 22.(x 4)答案： 23有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间解析： (1)法一(元素分析法
15、)：先排甲有 6 种，再排其余人有 A 种，故共有86A 241 920(种)排法8法二(位置分析法)：中间和两端有 A 种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A 种排法，38 6故共有 A A 336720241 920(种)排法38 6法三(等机会法)：9 个人全排列有 A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题9意得，甲不在中间及两端的排法总数是 A 241 920(种)969法四(间接法)：A 3A 6A 241 920(种)9 8 8(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，共有 A A 10 080(种)排法2 7(3)(插空法)先排 4 名男生有 A 种方法，再将 5 名女生插空，有
16、 A 种方法，故共有 A4 5A 2 880(种)排法4 54设 f(n)( a b)n(nN *， n2)，若 f(n)的展开式中，存在某连续 3 项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f(n)具有性质 P.(1)求证： f(7)具有性质 P；(2)若存在 n2 016，使 f(n)具有性质 P，求 n 的最大值解析： (1)证明： f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为C 7，C 21，C 35，17 27 37因为 C C 2C ，即 C ，C ，C 成等差数列，17 37 27 17 27 37所以 f(7)具有性质 P.(2)设 f(n)具有性质 P，则存在 kN *,1 k n1，使 C ，C ，C 成等差数列，k 1n kn k 1n所以 C C 2C ，k 1n k 1n kn整理得：4 k24 nk( n2 n2)0，即(2 k n)2 n2，所以 n2 为完全平方数，又 n2 016，由于 4422 016245 2，所以 n 的最大值为 44221 934，此时 k989 或 945.
