1、1专题一 第 4讲 万有引力定律及其应用限时：40 分钟一、选择题(本题共 12小题，其中 18 题为单选，912 题为多选)1(2018陕西省西交大附中高三下学期期中)如图，人造地球卫星 M、 N在同一平面内绕地心 O做匀速圆周运动。已知 M、 N连线与 M、 O连线间的夹角最大为 ，则 M、 N的运动速度大小之比等于( A )A Bsin1sinC Dtan1tan解析 设 M、 N卫星所在的轨道半径分别为： RM、 RN，根据题意可知卫星 M、 N连线与 M、 O连线间的夹角最大为 ，且 MN连线应与卫星 N所在的轨道相切，如图所示：根据几何关系可知： RN RMsin根据： mGMmr
2、2 v2r得： ，故 A正确。故选 A。vMvN sin2(2018宁夏银川二中高三下学期模拟三试题)设想在地面上通过火箭将质量为 m的人造小飞船送入预定轨道，至少需要做功 W。若预定轨道半径为 R，地球半径为 r，地球表面处的重力加速度为 g，忽略空气阻力，不考虑地球自转的影响。取地面为零势能面，则下列说法正确的是( D )A地球的质量为gR2G2B小飞船在预定轨道的周期为 2r3gR2C小飞船在预定轨道的动能为mgR22rD小飞船在预定轨道的势能为 Wmgr22R解析 根据 G mg可知地球的质量为 M ，选项 A错误；根据 G m R，Mmr2 gr2G MmR2 4 2T2解得 T2
3、2 ，选项 B错误；根据 G m ，解得小飞船在预定轨道的动能为R3GM R3gr2 MmR2 v2REk mv2 ，选项 C错误；小飞船在预定轨道的势能为 Ep W Ek W ，选12 GMm2R mgr22R mgr22R项 D正确；故选 D。3(2018福建省莆田市高三下学期模拟)超冷矮恒星“TRAPPIST1”距离地球约 39光年，它的质量约为太阳质量的 8%。科学家发现有七个行星围绕该恒星公转，其中“d 行星”的轨道半径约为日地距离的 2%。已知地球绕太阳的公转周期为 1年，利用上述数据可估算出“ d行星”绕“TRAPPIST1”的公转周期约为( B )A1 天 B4 天C29 天
4、D90 天解析 根据 m r可得 T ，则GMmr2 4 2T2 4 2r3GM r3M ，则 Td T 地 3.65 天4 天。故选 B。TdT地 2100 3 1008 1100 11004(2018四川省凉山州高三第三次诊断试题)发射高度较高的探测卫星时，需要经过多次变轨，如图先把卫星发射至近地轨道，、是两次变轨后的椭圆轨道，轨道、均相切于 O点， Q、 P分别为轨道、的远地点，则( B )A卫星从地面发射到轨道的过程中，一直处于失重状态B卫星从轨道的 O点运动到 Q点的过程中，万有引力一直做负功C卫星在轨道运动的机械能大于在轨道运动的机械能D卫星在轨道运动的周期大于在轨道运动的周期解析
5、 卫星从地面发射到轨道的过程中，一直加速，加速度方向向上，处于超重状态，故 A错误；卫星从轨道的 O点运动到 Q点的过程中，万有引力与速度方向夹角为3钝角，万有引力做负功，故 B正确；卫星从轨道变轨到的过程中，需要加速离心，机械能变大，故 C错误；由 可知 T3T1，故 D错误。R31T21 R3T235(2018山西省孝义市高三下学期一模理综)从 2011年 10月进入高度为 370km的圆轨道后， “天宫一号”一直在轨道上匀速运行，并完成了与三艘神舟飞船的交会对接任务。2016年 3月 16日， “天宫一号”进入轨道衰减期。就在前几天“天宫一号”进入大气层。下列说法正确的是( C )A与“
6、天宫一号”对接时，神舟飞船的速度应大于第一宇宙速度B2015 年“天宫一号”的运行周期大于同步卫星运行周期C从 2016年 4月到 2018年 2月， “天宫一号”的速度越来越大，机械能越来越小D进入大气层后下落的过程中， “天宫一号”内的物体处于完全失重状态解析 第一宇宙速度是卫星围绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，其轨道半径为地球半径，而神舟飞船的轨道半径更大，故神舟飞船的线速度小于第一宇宙速度，故 A错误；根据 G m r，解得： T2 ，因“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的半Mmr2 4 2T2 r3GM径，故其周期小于同步卫星的周期，故 B错误；进入大气层，由于空气阻力的作用， “
7、天宫一号”的轨道半径越来越小，线速度越来越大，机械能越来越小，故 C正确；进入大气层后，除受重力作用外，还受空气阻力作用，其加速度小于重力加速度，故处于失重状态，而不是完全失重状态，故 D错误；故选 C。6(2018广东省汕头市高三下学期 4月模拟)2018 年 2月 12日，我国采取一箭双星方式，成功发射了北斗三号第五、六颗组网卫星，中国北斗导航系统由 5颗地球同步静止轨道卫星和 30颗中高度轨道卫星组成。已知北斗 M4卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度为 21617km，地球半径约为 6400km，地面重力加速度 g9.8m/s 2，则北斗 M4卫星的加速度大小约为( A )A0.5
8、1m/s 2 B0.859m/s 2C1.25m/s 2 D0.137m/s 2解析 在地球表面的物体： mgGMmR2北斗 M4卫星绕地球做匀速圆周运动时： maGMm R h 24解得： a0.51m/s 2。故选 A。7(2018陕西省宝鸡市模拟)2018 年 1月 12日，我国以“一箭双星”方式成功发射第 26、第 27颗北斗导航卫星，拉开 2018年将发射 16颗北斗卫星的序幕。北斗导航卫星的轨道有三种：地球静止轨道(高度 35809km)、倾斜地球同步轨道(高度 35809km)、中圆地球轨道(高度 21607km)，如图所示。下列说法正确的是( D )A中圆轨道卫星的周期一定比静
9、止轨道卫星的周期长B中圆轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大C倾斜同步轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方D倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方解析 中圆轨道卫星的轨道半径比地球静止同步轨道半径小，做圆周运动的周期短，选项 A错误；由于不知道中圆轨道卫星与静止轨道卫星的质量，无法比较二者与地球之间的万有引力大小，选项 B错误；地球静止轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方，选项C错误；倾斜同步轨道卫星的周期与地球的自转周期相同，都是 24小时，所以倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方，D 正确。8(2018贵州省贵阳市高三 5月模拟)2018
10、年 1月 9日 11时 24分，我国在太原卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高景一号”03、04 星成功发射升空，这两颗卫星是 0.5米级高分辨率遥感卫星，他们均在距地面高度均为 530km的轨道上绕地球做匀速圆周运动，以下说法正确的是( B )A这两颗卫星运行速率比地球同步卫星的速率小B这两颗卫星的加速度比地球同步卫星的加速度大C这两颗卫星的动能一定比地球同步卫星的动能大D这两颗卫星中任意一颗一天可看见 6次日出解析 两颗卫星均在距地面高度均为 530km的轨道上绕地球做匀速圆周运动，可知高度远小于同步卫星的高度，则由 v 可知，两颗卫星运行速率比地球同步卫星的速率GMr小；由 a
11、可知，加速度比地球同步卫星的加速度大，选项 B正确，A 错误；两颗卫星与GMr2同步卫星的质量关系不确定，则无法比较动能关系，选项 C错误；根据开普勒第三定律 k，知两颗卫星轨道半径与同步卫星的轨道半径之比约为(6400530)r3T236000736，则因同步卫星的周期为 24小时，则此周期为 0.087524h2h，所以卫星5的运行周期是地球自转周期的 1/12倍，因此卫星中的宇航员一天内可看到 12次日出，故D错误。故选 B。9(2018东北三省四市高三第二次联合模拟)2017 年 4月 20日，中国第一艘货运飞船“天舟一号”发射升空，并与在轨运行的“天宫二号”成功交会对接，开展了一系列
12、任务，验证了空间站货物补给、推进剂在轨补加等关键技术。设地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度为 kR，运行周期为 T。则下列说法正确的是( AC )A对接前， “天舟一号”可以先到达比“天宫二号”的轨道半径小的轨道然后加速对接B对接前， “天舟一号”可以先到达与“天宫二号”的轨道半径相同的轨道然后加速对接C对接后，飞船的加速度大小为 ag 1 k 2D对接后，飞船的速度大小为 v2 kRT解析 对接前， “天舟一号”在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，轨道半径变小，即可以先到达比“天宫二号”的轨道
13、半径小的轨道然后加速对接，故 A正确，B 错误；在地球表面附近，根据重力等于万有引力 mg G ，MmR2得 GM gR2，对接后，轨道半径 r R kR(1 k)R，根据万有引力提供向心力，有G m1a，得 a ，故 C正确；对接后，飞船的线速度 vMm1r2 GMr2 gR2 1 k 2R2 g 1 k 2 ，故 D错误。2 rT 2 1 k RT 2 R 1 kT10(2017江西省新余市二模)18 世纪，数学家莫佩尔蒂，哲学家伏尔泰曾经设想“穿透”地球；假设能够沿着地球两极连线开凿一条沿着地轴的隧道贯穿地球，一个人可以从北极入口由静止自由落入隧道中，忽略一切阻力，此人可以从南极出口飞出
14、已知此人的质量 m50kg；地球表面处重力加速度取 g10m/s 2；地球半径 R6.410 6m；假设地球可视为质量分布均匀的球体。均匀球壳对壳内任一点的质点合引力为零)则以下说法正确的是( BD )A人与地球构成的系统，由于重力发生变化，故机械能不守恒6B人在下落过程中，受到的万有引力与到地心的距离成正比C人从北极开始下落，到刚好经过地心的过程，万有引力对人做功 W3.210 9JD当人下落经过距地心 R瞬间，人的瞬时速度大小为 4 103m/s12 3解析 人与地球构成的系统，由于只有重力做功，故系统机械能守恒，故 A错误；与球心的距离为 r时，万有引力为： F G G r r；故
15、B正M mr2 43 r3mr2 4G m3确；人从北极开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对人做功：W R其中： mg联立解得：F FF2 12W mgR 50106.41061.610 9J，故 C错误；人从下落到距地心 过程，12 12 R2万有引力的平均值为： 5010N375NFmg 12mg2 34根据动能定理，有： mv2FR2 12解得： v 4 103m/sFRm 3756.410650 3故 D正确。故选：BD。11(2018广东省梅州市高三下学期二模) P1、 P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星 S1、 S2，做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星
16、对周围空间各处物体的引力产生的加速度 a，横坐标表示物体到行星中心的距离 r的平方，两条曲线分别表示 P1、 P2周围的 a与 r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( ABC )A P1的平均密度比 P2的大 B P1的“第一宇宙速度”比 P2的大C S1的向心加速度比 S2的大 D S1的公转周期比 S2的大解析 根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：a ，两曲线左端点横坐标相同，所以 P1、 P2的半径相等，结合 a与 r2的反比关系函数GMr2图象得出 P1的质量大于 P2的质量，根据 ，所以 P1的平均密度比 P2的大，故 AM4 R337正确；第一宇宙速度
17、 v ，所以 P1的“第一宇宙速度”比 P2的大，故 B正确； S1、 S2GMR的轨道半径相等，根据 a ，所以 S1的向心加速度比 S2的大，故 C正确；根据万有引力GMr2提供向心力得出周期表达式 T2 ，所以 S1的公转周期比 S2的小，故 D错误；故选r3GMABC。12(2018河南省郑州市高三下学期模拟)在地球大气层外有大量的太空垃圾。在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而逐渐降低轨道。大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害。以下关于太空垃圾正确的说法是( BD )A
18、大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致轨道降低B太空垃圾在与大气摩擦过程中机械能不断减小，进而导致轨道降低C太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，由于与大气的摩擦，速度不断减小D太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小解析 原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾所受万有引力恰好提供向心力，但在大气包围中会与大气摩擦使机械能不断减小，使所受万有引力大于所需向心力，进而做向心运动，导致轨道降低，故 A项错，B 项正确；太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，根据v 得速度增大，故 C项错；由万有引力提供向心力及万有引力公式可知，太空垃圾在GMr轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期
19、不断减小，故 D项正确。二、计算题(本题共 1小题，需写出完整的解题步骤)13(2018天津市高考压轴卷)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。a若在北极上空高出地面 h处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 F1/F0的表达式，并就h1.0% R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；b若在赤道地面称量，弹簧秤读数为
20、 F2，求比值 F2/F0的表达式。(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 Rs和地球的半径 R三者均减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的 1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？解析 (1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是8F0 G MmR2F1 G Mm R h 2由公式可以得出：( )20.98F1F0 RR hF2 G m 2R G m R MmR2 MmR2 4 2T2由和可得： 1F2F0 4 2R3T2GM(2)根据万有引力定律，有 G m rMmr2 4 2T2得 T4 2r3GM又因为 M V R ，解得 T43 3s 3G r3R3s从上式可知，当太阳半径减小为现在的 1.0%时，地球公转周期不变。
