1、1专题对点练 11 三角变换与解三角形1.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=3, =-6,S ABC=3,求 A 和 a.2.已知 a,b,c 分别为锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 a=2csin A.3(1)求角 C;(2)若 c= ,且 ABC 的面积为 ,求 a+b 的值 .73323. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2c-a=2bcos A.(1)求角 B 的大小;(2)若 a=2,b= ,求 c 的长 .74.已知 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin C= ccos
2、 A.3(1)求角 A;(2)若 b=2, ABC 的面积为 ,求 a.325.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 .2- =(1)求角 A 的大小;(2)若 D 为 BC 上一点,且 =2 ,b=3,AD= ,求 a. 216.已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b=2,c=3, ABC 的面积为 ,又 =2332 , CBD=.(1)求 a,A,cos ABC;(2)求 cos 2 的值 .7.在 ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且满足 a=3bcos C.(1)求 的值;(2)若 a=3,tan
3、 A=3,求 ABC 的面积 .8.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2acos C-c=2b.3(1)求角 A 的大小;(2)若 c= ,角 B 的平分线 BD= ,求 a.2 34专题对点练 11 答案1.解 因为 =-6,所以 bccos A=-6,又 S ABC=3,所以 bcsin A=6,因此 tan A=-1,又 00, sin A= cos A,3则 tan A= ,3由 0A 得 A=.(2)b= 2,A=, ABC 的面积为 ,3bc sin A= ,则 2c ,解得 c=2,332=3由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=4+4-
4、222=4,则 a=2.5.解 (1)由 ,则(2 c-b)cos A=acos B,2- =由正弦定理可知 =2R,则 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,= = (2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,整理得 2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即 2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,由 sin C0,则 cos A=,即 A=, 角 A 的大小为 .(2)过点 D 作 DE AC,交 AB 于点 E,则 ADE 中, ED=AC=1, DEA= ,235由余弦定理可知 AD2=AE2+ED2-
5、2AEEDcos,又 AD= ,21AE= 4,AB= 6.又 AC=3, BAC=,则 ABC 为直角三角形,a=BC= 3 ,a 的值为 3 .3 36.解 (1)由 ABC 的面积为 bcsin A,332=12可得 23sin A= ,332可得 sin A= ,32又 A 为锐角,可得 A=,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=22+32-223cos=7,解得 a= ,可得 cos ABC=7.2+2-22 =(7)2+32-22273 =277(2)由 =2 ,知 CD=1,由 ABD 为正三角形,即 BD=3,且 sin ABC= ,1-2=217cos = co
6、s(3-)=coscos ABC+sinsin ABC= ,12277+32217=5714 cos 2= 2cos2- 1= .11147.解 (1)由正弦定理 =2R 可得 2Rsin A=32Rsin Bcos C.= = A+B+C= , sin A=sin(B+C)=3sin Bcos C,即 sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Bcos C. cos Bsin C=2sin Bcos C, =2,故 =2. (2)(方法一)由 A+B+C=,得 tan(B+C)=tan( -A)=-3,即 =-3,将 tan C=2tan B 代入得 =-3,+1- 31-22解
7、得 tan B=1 或 tan B=-,根据 tan C=2tan B 得 tan C,tan B 同正, tan B=1,tan C=2.又 tan A=3,可得 sin B= ,sin C= ,sin A= ,22 255 31010代入正弦定理可得 ,b= ,331010=22 56S ABC=absin C=3 =3.5255(方法二)由 A+B+C= 得 tan(B+C)=tan( -A)=-3,即 =-3,将 tan C=2tan B 代入得 =-3,+1- 31-22解得 tan B=1 或 tan B=-,根据 tan C=2tan B 得 tan C,tan B 同正, ta
8、n B=1,tan C=2.又 a=3bcos C=3,b cos C=1,ab cos C=3.ab cos Ctan C=6.S ABC=absin C=6=3.8.解 (1)由 2acos C-c=2b 及正弦定理得 2sin Acos C-sin C=2sin B,2sin Acos C-sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,- sin C=2cos Asin C, sin C0, cos A=-,又 A(0,), A= .23(2)在 ABD 中, c= ,角 B 的平分线 BD= ,2 3由正弦定理得 ,= sin ADB= ,=2323 =22由 A= ,得 ADB=,23 ABC=2 ,(-23-4)=6 ACB= - ,AC=AB= .236=6 2由余弦定理得 a2=BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=2+2-2 =6,a= .22(-12) 6
