1、1专题突破练 6 函数的单调性、极值点、极值、最值1.已知函数 f(x)= (k为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与 x轴平行 .(1)求 k的值;(2)求 f(x)的单调区间 .2.(2018山东潍坊一模,文 21节选)已知函数 f(x)=aln x+x2.(1)若 a=-2,判断 f(x)在(1, + )上的单调性;(2)求函数 f(x)在1,e上的最小值;(3)略3.(2018山东师大附中一模,文 21)已知函数 f(x)=(x-a)ex(aR) .(1)当 a=2时,求函数 f(x)在 x=0处的切线方程;(2)求 f(x)在区间1,2上的最
2、小值 .24.(2018山西晋城一模,文 21)已知函数 f(x)= ax2+(a-1)x+(1-2a)ln x(a0).(1)若 x=2是函数的极值点,求 a的值及函数 f(x)的极值;(2)讨论函数的单调性 .5.已知函数 f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b.(1)若 a=2,F(x)=f(x)-g(x),求 F(x)的单调区间;(2)若函数 g(x)=ax+b是函数 f(x)=ln x- 图象的切线,求 a+b的最小值 .6.(2018福建厦门一模,文 21)已知函数 f(x)=x ex- x2- x ,ae,其中 e为自然对数的底数 .(1)当 a=0,x0时,证明 f(x)e
3、 x2;(2)讨论函数 f(x)极值点的个数 .3参考答案专题突破练 6 函数的单调性、极值点、极值、最值1.解 (1)由题意得 f(x)= ,又 f(1)= =0,故 k=1.(2)由(1)知, f(x)= .设 h(x)= -ln x-1(x0),则 h(x)=- 0,从而 f(x)0;当 x1时, h(x)0,f (x)在(1, + )上单调递增 .(2)f(x)=2x+ ,当 a0 时, f(x)0, f(x)在1,e上单调递增,f (x)min=f(1)=1.当 a0,f(x)单调递增, f (x)4min=f(1)=1.若 10),由已知 f(2)=2a+(a-1)+ =2a- =
4、0a= ,此时 f(x)= x2- x+ ln x,f(x)= x- ,当 02时, f(x)0,f(x)是增函数,当 10), 当 0,即 a ,01时, f(x)0,所以 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1, + )上单调递增; 当 01时, f(x)0,1,即 0 时, f(x)0,10,所以 f(x)在定义域(0, + )上单调递增;综上: 当 00),令 F(x)0,解得 01,故 F(x)在(0,1)递增,在(1, + )递减 .(2)设切点 ,函数 f(x)=ln x- 的导数为 f(x)= ,即切线的斜率为,则 a= ,ln m- =ma+b,即有 b=ln m-
5、-1,a+b=ln m- -1,令 =t0,则 a+b=-ln t-t+t2-1,令 a+b= (t)=-ln t+t2-t-1,则 (t)=- +2t-1= ,当 t(0,1)时, (t)0, (t)在(1, + )上单调递增 .即有 t=1时, (t)取得极小值,也为最小值 .则 a+b= (t) (1)=-1,故 a+b的最小值为 -1.6.解 (1)当 a=0,x0时, f(x)=xex,f(x)e x2,即 xex-ex20,x 0,只要证 ex-ex0,记 g(x)=ex-ex(x0),则 g(x)=ex-e.当 01时, g(x)0,g(x)单调递增 .所以 g(x) g(1)=
6、0,即 f(x)e x2,原不等式成立 .(2)f(x)= +x =(x+1)ex-ax(x+1)=(x+1)(ex-ax),记 h(x)=ex-ax,h(x)=ex-a.( )当 a0,h(x)在 R上单调递增, h(0)=10,h -1x0,h(x)0, 若 x0=-1,即 a=- 时,对任意 x -1,f(x)0,此时 f(x)在 R上单调递增,无极值点 .7 若 x0-1时, f(x)0.即 f(x)在( - ,x0),(-1,+ )上单调递增;当 x0x0时, f(x)0.即 f(x)在( - ,-1),(x0,+ )上单调递增;当 -1ex-ex0,从而 h(x)0,而对任意 xex0;所以对任意 xR, h(x)0.此时令 f(x)0,得 x-1.所以 f(x)在( - ,-1)单调递减;在( -1,+ )上单调递增;此时 f(x)有一个极小值点 -1,无极大值点 .( )当 a=e时,由(1)可知,对任意 xR, h(x)=ex-ax=ex-ex0,当且仅当 x=1时取等号,此时令 f(x)0,得 x-1,所以 f(x)在( - ,-1)单调递减;在( -1,+ )上单调递增;此时 f(x)有一个极小值点 -1,无极大值点 .综上可得:当 a- 或 - a0时, f(x)有两个极值点;当 a=- 时, f(x)无极值点;当 0 ae 时, f(x)有一个极值点 .
