1、1专题突破练 8 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018 全国卷 3,文 21)已知函数 f(x)= .(1)求曲线 y=f(x)在点(0, -1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时, f(x)+e0 .2.设函数 f(x)=e2x-aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数;(2)证明当 a0 时, f(x)2 a+aln .3.设函数 f(x)=x2-aln x,g(x)=(a-2)x.(1)略;(2)若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点 x1,x2, 求满足条件的最小正整数 a 的值; 求证: F 0.24.(2018 福建龙岩 4 月质检,文 21
2、 节选)已知函数 f(x)= -2ln x,mR .(1)略;(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1-1 时, g(x)0,g(x)单调递增;所以 g(x) g(-1)=0.因此 f(x)+e0 .2.(1)解 f(x)的定义域为(0, + ),f(x)=2e2x- (x0).当 a0 时, f(x)0,f(x)没有零点,当 a0 时,因为 e2x单调递增, - 单调递增,所以f(x)在(0, + )单调递增 .又 f(a)0,当 b 满足 00 时, f(x)存在唯一零点 .(2)证明 由(1),可设 f(x)在(0, + )的唯一零点为 x0,当 x(0, x0)时, f
3、(x)0.故 f(x)在(0, x0)单调递减,在( x0,+ )单调递增,所以当 x=x0时, f(x)取得最小值,最小值为 f(x0).由于 2 =0,所以 f(x0)= +2ax0+aln 2 a+aln .故当 a0 时, f(x)2 a+aln .3.解 (1)略;(2)F (x)=x2-aln x-(a-2)x,F (x)=2x-(a-2)- (x0).因为函数F(x)有两个零点,所以 a0,此时函数 F(x)在 单调递减,在 单调递增 .所以 F(x)的最小值 F 0,a+ 4ln -40.令 h(a)=a+4ln -4,显然 h(a)在(0, + )上为增函数,且 h(2)=-
4、20,所以存在 a0(2,3), h(a0)=0.当 aa0时, h(a)0,所以满足条件的最小正整数 a=3. 证明:不妨设 00,故只要证即可,即证 x1+x2 ,即证 +(x1+x2)(ln x1-ln x2)0,所以 m(t)0,当且仅当 t=1 时, m(t)=0,所以 m(t)在(0, + )上是增函数 .又 m(1)=0,所以当 t(0,1), m(t)0,f(x)= ,f (x)有两个极值点 x1,x2,且 x11,m= -2x2, 证明 2ln x2- 1 成立,等价于证明 2ln x2-x2-1 成立 .m=x 2(x2-2)( -1,0),x 2=1+ (1,2) .设函
5、数 h(x)=2ln x-x,x(1,2),求导可得 h(x)= -1.易知 h(x)0 在 x(1,2)上恒成立,即 h(x)在 x(1,2)上单调递增,h (x)h(1)=-1,即 2ln x2-x2-1 在 x2(1,2)上恒成立, 函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x10,h(x)在(0, + )递增;a+ 10 即 a-1 时, x(0,1 +a)时, h(x)0,h(x)在(0,1 +a)递减,在(1 +a,+ )递增,综上, a-1 时, h(x)在(0,1 +a)递减,在(1 +a,+ )递增, a -1 时, h(x)在(0, + )递增 .(2)证明 由(1)得
6、x=1+a 是函数 h(x)的唯一极值点,故 a=2. 2ln x1+mx1=0,2ln x2+mx2=0, 2(ln x2-ln x1)=m(x1-x2),又 f(x)=2ln x,f (x)= ,6= +m +ln .令 =te 2, (t)= +ln t,则 (t)= 0, (t)在e 2,+ )上递增, (t) (e2)=1+ 1+ ,故.6.解 (1)f(x)= ,令 f(x)=0 得 x= .当 x= 且 x0 时, f(x) 时, f(x)0.所以 f(x)在( - ,0)上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增 .(2)假设曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在公共点且在公共点处有公切线,且切点横坐标为x00,则7即 其中 式即 4 -3e2x0-e3=0.记 h(x)=4x3-3e2x-e3,x(0, + ),则 h(x)=3(2x+e)(2x-e),得 h(x)在 上单调递减,在 上单调递增,又 h(0)=-e3,h =-2e3,h(e)=0,故方程 h(x0)=0 在(0, + )上有唯一实数根 x0=e,经验证也满足 式 .于是, f(x0)=g(x0)=3e,f(x0)=g(x0)=3,曲线 y=g(x)与 y=g(x)的公切线 l 的方程为 y-3e=3(x-e),即 y=3x.
