1、1中档大题分类练(二) 数列(建议用时：60 分钟)1已知 Sn是数列 an的前 n项和， a14， an2 n1( n2)(1)证明：当 n2 时， Sn an n2；(2)若等比数列 bn的前两项分别为 S2， S5，求 bn的前 n项和 Tn.解 (1)证明：当 n2 时， Sn4(572 n1)4 n22 n1， 5 2n 1 n 12 Sn(2 n1) n2 an n2.(2)由(1)知， S29， S536，等比数列 bn的公比 q 4，369又 b1 S29， Tn 3(4 n1)9 1 4n1 42设数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a11， Sn1 4 an2.(1)设
2、bn an1 2 an，证明：数列 bn是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明：由已知有 a1 a24 a12.解得 a23 a125，故 b1 a22 a13.又 an2 Sn2 Sn14 an1 2(4 an2)4 an1 4 an，于是 an2 2 an1 2( an1 2 an)，即 bn1 2 bn.因此数列 bn是首项为 3，公比为 2的等比数列(2)由(1)知等比数列 bn中 b13，公比 q2，所以 an1 2 an32 n1 .于是 ，an 12n 1 an2n 34因此数列 是首项为 、公差为 的等差数列an2n 12 34 (n1) n .an2n 12
3、34 34 14所以 an(3 n1)2 n2 .3设 Sn为数列 an的前 n项和，已知 a37， an2 an1 a22( n2)2(1)证明： an1为等比数列；(2)求 an的通项公式，并判断 n， an， Sn是否成等差数列解 (1)证明： a37， a33 a22， a23， an2 an1 1， a11， 2( n2)，an 1an 1 1 2an 1 2an 1 1 an1是首项为 2，公比为 2的等比数列(2)由(1)知， an12 n， an2 n1. Sn n2 n1 n2， n Sn2 an n2 n1 n22(2 n1)02 2n 11 2 n Sn2 an，即 n，
4、 an， Sn成等差数列4设 Sn是数列 an的前 n项和，已知 a11， Sn22 an1 .(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn(1) nlog an，求数列 bn的前 n项和 Tn.12解 (1) Sn22 an1 ， a11，当 n1 时， S122 a2，得 a21 1 ； S12 a12 12当 n2 时， Sn1 22 an，当 n2 时， an2 an2 an1 ，即 an1 an, 又 a2 a1，12 12 an是以 a11 为首项， 为公比的等比数列12数列 an的通项公式为 an .12n 1(2)由(1)知， bn(1) n(n1)，Tn0123(1) n(n
5、1), 当 n为偶数时， Tn ；n2当 n为奇数时， Tn ( n1) ，n 12 1 n2 TnError!（教师备选）1已知数列 an的前 n项和 Sn n2 pn，且 a2， a5， a10成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn1 ，求数列 bn的前 n项和 Tn.5anan 13解 (1)当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1 p，当 n1 时， a1 S11 p，也满足 an2 n1 p，故 an2 n1 p， a2， a5， a10成等比数列，(3 p)(19 p)(9 p)2， p6. an2 n5.(2)由(1)可得 bn1 1 1 ，5anan 1 5
6、 2n 5 2n 7 52( 12n 5 12n 7) Tn n n .5217 19 19 111 12n 5 12n 7 5n14n 49 14n2 54n14n 492已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 Sn (an1)， nN *.43(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bnlog 2an，记数列 的前 n项和为 Tn，证明： Tn .1 bn 1 bn 1 12解 (1)当 n1 时，有 a1 S1 (a11)，解得 a14.当 n2 时，有43Sn1 (an1 1)，则43an Sn Sn1 (an1) (an1 1)，整理得： 4，数列 an是以 q4 为公43 43 anan 1比，以 a14 为首项的等比数列. an44 n1 4 n(nN *)，即数列 an的通项公式为： an4 n(nN *)(2)由(1)有 bnlog 2anlog 24n2 n，则， ，1 bn 1 bn 1 1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1) Tn 113 135 157 1 2n 1 2n 1 ，故得证1211 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1 12(1 12n 1) 12
