1、1中档大题分类练(五) 选考部分（建议用时：60 分钟）1选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1过点 P(a,1)，其参数方程为Error!( t 为参数， aR)，以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A， B 两点，且| PA|2| PB|，求实数 a 的值解 (1) C1的参数方程Error!，消参得普通方程为 x y a10, C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0 两边同乘 得 2cos2 4
2、 cos 20，即 y24 x; (2)将曲线 C1的参数方程Error!( t 为参数， aR)代入曲线 C2： y24 x，得2t22 t14 a0，2由 (2 )242(14 a)0，得 a0，2设 A， B 对应的参数为 t1， t2，由题意得| t1|2| t2|即 t12 t2或 t12 t2, 当 t12 t2时，Error!解得 a ， 136当 t12 t2时，Error!解得 a ，94综上： a 或 . 136 94选修 45：不等式选讲已知 xR，使不等式 |x1| x2| t 成立(1)求满足条件的实数 t 的集合 T；(2)若 m1， n1，对 t T，不等式 lo
3、g3mlog3n t 恒成立，求 m n 的最小值解 (1)令 f(x)| x1| x2|Error!则1 f(x)1，由于 xR 使不等式 |x1| x2| t 成立，有 t T t|t1. (2)由(1)知，log 3mlog3n1，根据基本不等式 log3mlog 3n2 2，log3mlog3n从而 mn3 2，当且仅当 m n3 时取等号， 再根据基本不等式 m n2 6，当且仅当 m n3 时取等号mn所以 m n 的最小值为 6. 2选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为：Error!( 为参数， 0，)，2将曲线 C1经过伸缩变换：Er
4、ror!得到曲线 C2.(1)以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 C2的极坐标方程；(2)若直线 l：Error!( t 为参数)与 C1， C2相交于 A， B 两点，且| AB| 1，求 的2值解 (1) C1的普通方程为 x2 y21( y0)，把 x x， y y代入上述方程得， x 2 1( y0)，33 y 23 C2的方程为 x2 1( y0)，令 x cos ， y sin ，y23 C2的极坐标方程为 2 ( 0，)33cos2 sin2 32cos2 1(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R)，由Error! ，得 A1，由Err
5、or!，得 B 1，32cos2 1所以 1 1，cos ，32cos2 1 2 12而 0， 或 . 3 23选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x a|， g(x)| bx1|.(1)当 b1 时，若 f(x) g(x)的最小值为 3，求实数 a 的值；12(2)当 b1 时，若不等式 f(x) g(x)1 的解集包含 ，求实数 a 的取值范12， 1围解 (1)当 b1 时， f(x) g(x) | x1| ，12 |x a2| |x a2 x 1| |a2 1|因为 f(x) g(x)的最小值为 3，所以 3，解得 a8 或 4. 12 |a2 1|(2)当 b1 时， f(
6、x) g(x)1 即|2 x a| x1|1，当 x 时，|2 x a| x1|1|2 x a|1 x1 |2x a| x，即12， 1 x a，a3因为不等式 f(x) g(x)1 的解集包含 ，所以 a1 且 ，12， 1 a3 12即 1 a ，故实数 a 的取值范围是 . 32 (1， 32)33选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 4cos .(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交点
7、分别为 A， B，点 P(1,0)，求 的值1|PA| 1|PB|解 (1) l： x y10，曲线 C： x2 y24 x0；(2)将Error! (t 为参数)代入曲线 C 的方程，得 t2 t 30，2| t1 t2| ， . t1 t2 2 4t1t2 141|PA| 1|PB| |t1 t2|t1t2| 143选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x1|2 x1|.(1)求函数 f(x)的最小值 m；(2)若正实数 a， b 满足 ，求证： m.1a 1b 3 1a2 2b2解 (1)|2 x1|2 x1|(2 x1)(2 x1)|2，当且仅当 x 时，等号12 12成立，即
8、函数 f(x)最小值为 2.(2) 2，则 2，(1a2 2b2) (1 12) (1a 1b) 1a2 2b2当且仅当 b2 a 时，等号成立(教师备选)1选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error! (m 为参数)，设直线 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1.(1)求出曲线 C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 sin 4 ，点 Q 为曲线 C1的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最小值( 4)
9、 2解 (1)将 l1， l2的参数方程转化为普通方程：l1： y k(x )，3l2： y ( x)，13k 3消 k 可得： y21，x23因为 k0，所以 y0，所以 C1的普通方程为 y21( y0)x234(2)直线 C2的直角坐标方程为： x y80.由(1)知曲线 C1与直线 C2无公共点，由于 C1的参数方程为Error!( a 为参数， a k， kZ)，所以曲线 C1上的点 Q( cos a，sin a)到直线 x y80 的距离为：3d ，|3cos a sin a 8|2 |2sin(a 3) 8|2所以当 sin 1 时， d 的最小值为 3 .(a 3) 2选修 4
10、5：不等式选讲已知函数 f(x) |x a|(aR)13(1)当 a2 时，解不等式 f(x)1；|x13|(2)设不等式 f(x) x 的解集为 M，若 M，求实数 a 的取值范围|x13| 13， 12解 (1)当 a2 时，原不等式可化为|3 x1| x2|3，当 x 时，原不等式可化为3 x12 x3，解得 x0，所以 x0；13当 x2 时，原不等式可化为 3x12 x3，解得 x1，所以 1 x2.13当 x2 时，原不等式可化为 3x12 x3，解得 x ，所以 x2，32综上所述，当 a2 时，不等式的解集为 x|x0 或 x1(2)不等式 f(x) x 可化为|3 x1| x
11、 a|3 x，|x13|依题意不等式|3 x1| x a|3 x 在 上恒成立，13， 12所以 3x1| x a|3 x，即| x a|1，在 上恒成立，13， 12即 a1 x a1，所以Error!解得 a ，故所求实数 a 的取值范围是 .12 43 12， 432选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数 )，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程；5(2)已知射线 l1： ，将射线 l1顺时针旋转 得到射线 l2： (0 2)
12、 6，且射线 l1与曲线 C1交于 O、 P 两点，射线 l2与曲线 C2交于 O、 Q 两点，求| OP|OQ| 6的最大值解 (1)曲线 C1的普通方程为( x2) 2 y24，所以 C1的极坐标方程为 4cos ，曲线 C2的普通方程为 x2( y2) 24，所以 C2的极坐标方程为 4sin .(2)设点 P 的极坐标为( 1， )，即 14cos ，点 Q 的极坐标为 ，( 2， 6)即 24sin .( 6)则| OP|OQ| 1 24cos 4sin( 6)16cos (32sin 12cos )8sin 4.(2 6) ，(0， 2)2 ， 6 ( 6， 56)当 2 ，即 时
13、，| OP|OQ|取得最大值，为 4. 6 2 3选修 45：不等式选讲已知函数 f(x) x|x a|， aR.(1)若 f(1) f(1)1，求 a 的取值范围；(2)若 a0，对 x， y( ， a，都有不等式 f(x) | y a|恒成立，求 a 的|y54|取值范围解 (1) f(1) f(1)|1 a|1 a|1, 若 a1，则 1 a1 a1，得 21，即 a1 时恒成立， 若1 a1，则 1 a(1 a)1，得 a ，即1 a ，12 12若 a1，则(1 a)(1 a)1，得21，即不等式无解， 6综上所述， a 的取值范围是 .( ， 12)(2)由题意知，要使得不等式恒成
14、立，只需 f(x)max min，|y54| |y a|当 x(， a时， f(x) x2 ax， f(x)max f ， (a2) a24因为 | y a| ，|y54| |a 54|所以当 y 时， min a ， 54， a |y 54| |y a| |a 54| 54即 a ，解得1 a5，结合 a0，所以 a 的取值范围是(0,5a24 543选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( a 为参数)，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 6(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)设直
15、线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| AB|的值解 (1)将方程Error!消去参数 a 得 x2 y24 x120，曲线 C 的普通方程为 x2 y24 x120, 将 x2 y2 2， x cos 代入上式可得 24 cos 12，曲线 C 的极坐标方程为： 24 cos 120.(2)设 A， B 两点的极坐标方程分别为 ， ，( 1， 6)( 2， 6)由Error! 消去 得 22 120，3根据题意可得 1， 2是方程 22 120 的两根，3 1 22 ， 1 212，3| AB| 1 2| 2 . 1 2 2 4 1 2 15选修 45：不等式选讲已知 x， y， z(0，)， x y z3.(1)求 的最小值；1x 1y 1z(2)证明：3 x2 y2 z2.解 (1)因为 x y z3 0， 0，3xyz1x 1y 1z 33xyz所以( x y z) 9，即 3，(1x 1y 1z) 1x 1y 1z7当且仅当 x y z1 时等号成立，此时 取得最小值 3.1x 1y 1z(2)证明： x2 y2 z2x2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 x23x2 y2 z2 2 xy yz zx3 3. x y z 23
