1、1压轴大题抢分练(一)(建议用时：60 分钟)1已知抛物线 y22 px(p0)上点 M(3， m)到焦点 F 的距离为 4.(1)求抛物线方程；(2)点 P 为准线上任意一点， AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线 PA， PB， PF的斜率为 k1， k2， k3，问是否存在实数 ，使得 k1 k2 k 3恒成立若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由解 (1)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 ，准线为 x ，(p2， 0) p2由抛物线的定义可知：43 ， p2，p2抛物线方程为 y24 x.(2)由于抛物线 y24 x 的焦点 F 为(1,0)，准线为 x1，设直线 AB：
2、 x my1，与 y24 x 联立，消去 x，整理得：y24 my40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(1， t)，有Error!易知 k3 ，而 k1 k2 t2 y1 tx1 1 y2 tx2 1 x2 1 y1 t x1 1 y2 t x1 1 x2 1(y24 1) y1 t (y214 1) y2 t(y214 1)(y24 1) t2 k3， t 4m2 44m2 4存在实数 2，使得 k1 k2 k 3恒成立2在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： y21，点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)是椭x24圆 C 上两个动点，直线 OP， OQ 的斜
3、率分别为 k1， k2，若m ， n ， mn0.(x12， y1) (x22， y2)(1)求证： k1k2 ；14(2)试探求 OPQ 的面积 S 是否为定值？并说明理由解 (1) k1， k2存在， x1x20，2 mn0， m ， n ，(x12， y1) (x22， y2) y1y20，x1x24 k1k2 .y1y2x1x2 14(2)当直线 PQ 的斜率不存在，即 x1 x2， y1 y2时，由 得， y 0，y1y2x1x2 14 x214 21又由 P(x1， y1)在椭圆上，得 y 1，x214 21| x1| ，| y1| .222 S POQ |x1|y1 y2|1.1
4、2当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y kx b.由Error! 得(4 k21) x28 kbx4 b240， x1 x2 ， x1x2 . 8kb4k2 1 4b2 44k2 1 y1y20，x1x24 ( kx1 b)(kx2 b)0，得 2b24 k21，x1x24 S POQ |PQ| |b| 2| b| 1.12 |b|1 k2 12 x1 x2 2 4x1x2 4k2 1 b24k2 1综上可得， POQ 的面积 S 为定值3已知 f(x) xln x.(1)求 f(x)的最小值；(2)证明：对一切 x(0，)都有 ln x .1ex 2ex解 (1) f( x
5、)1ln x，在 上，(0，1e)f( x)0， f(x)递减，在 上，(1e， )f( x)0， f(x)递增，所以 f(x)在 x 时，取得最小值 f .1e (1e) 1e(2)要证：ln x 只需证： xln x ，因为 f(x) xln x 在(0，)最小1ex 2ex xex 2e3值为 ，所以构造函数 g(x) (x0)，1e xex 2eg( x) ，因此 g(x)在(0,1)递增，在(1，)递减，所以 g(x)最大值为 g(1)1 xex ，又因为 f(x)与 g(x)的最值不同时取得，所以 f(x) g(x)，1e即 xln x ，xex 2e所以 ln x .1ex 2e
6、x4已知函数 f(x)ln x a.2x2 3x 1x(1)若曲线 f(x)在 x1 处的切线 l 过点(1,0)，求 a 的值及切线 l 的方程；(2)若存在唯一整数 x0，使得 f(x0)0，求实数 a 的取值范围，并判断此时方程 f(x)0 的实根个数解 (1)因为 f( x) 2，所以 f(1) a6， f(1)2，1x 1x2由曲线 f(x)在 x1 处的切线过点(1,0)，可得切线 l 的斜率 k f(1)，即 2，f 1 01 1 6 a2所以 a2，且切线 l 的方程为 y2( x1)，即 2x y20.(2)由题可知： f( x) (x0)，所以当 x 时， f( x) x 1 2x 1x2 (0， 12)0， f(x)单调递减，当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增(12， )若存在唯一整数 x0，使得 f(x0)0，则 x01，所以Error! 即Error!所以ln 2 a6，152所以实数 a 的取值范围为 . ln 2152， 6)结合 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0，12) (12， )且 f(1)0， f(2)0， f e 3 a0，(1e3) 2e3可知 f(x)0 在 上及 上各有 1 个实根，(0，12) (12， )所以 f(x)0 有 2 个实根
