1、1压轴大题抢分练(二)(建议用时：60 分钟)1已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，抛物线 C上存在一点 E(2， t)到焦点 F的距离等于 3.(1)求抛物线 C的方程；(2)过点 K(1,0)的直线 l与抛物线 C相交于 A， B两点( A， B两点在 x轴上方)，点 A关于 x轴的对称点为 D，且 FA FB，求 ABD的外接圆的方程解 (1)抛物线的准线方程为 x ，p2所以点 E(2， t)到焦点 F的距离为 2 3，p2解得 p2.所以抛物线 C的方程为 y24 x.(2)法一：设直线 l的方程为 x my1( m0)将 x my1 代入 y24 x并整理得 y24
2、 my40.由 (4 m)2160，解得 m1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 D(x1， y1)，y1 y24 m， y1y24，所以 ( x11)( x21) y1y2(1 m2)y1y22 m(y1 y2)484 m2，FA FB 因为 FA FB，所以 0，FA FB 即 84 m20，结合 m0，解得 m .2所以直线 l的方程为 x y10.2设 AB的中点坐标为( x0， y0)，则 y0 2 m2 ， x0 my013，y1 y22 2所以线段 AB的垂直平分线方程为 y2 (x3)2 2因为线段 AD的垂直平分线方程为 y0，所以 ABD的外接圆圆心坐标为(
3、5,0)因为圆心(5,0)到直线 l的距离 d2 ，3且| AB| 4 ，1 m2 y1 y2 2 4y1y2 3所以圆的半径 r 2 .d2 (|AB|2 )2 6所以 ABD的外接圆的方程为( x5) 2 y224.法二：依题意可设直线 l： y k(x1)( k0)2将直线 l与抛物线 C的方程联立并整理得 k2x2(2 k24) x k20.由 (2 k24) 24 k40，结合 k0，得 0 k1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x22 ， x1x21.4k2所以 y1y2 k2(x1x2 x1 x21)4.所以 x1x2( x1 x2)1 y1y28 ，FA
4、 FB 4k2因为 FA FB，所以 0，FA FB 所以 8 0，又 k0，解得 k .4k2 22以下同法一2已知动点 M(x， y)满足： 2 . x 1 2 y2 x 1 2 y2 2(1)求动点 M的轨迹 E的方程；(2)设 A， B是轨迹 E上的两个动点，线段 AB的中点 N在直线 l： x 上，线段 AB12的中垂线与 E交于 P， Q两点，是否存在点 N，使以 PQ为直径的圆经过点(1,0)，若存在，求出 N点坐标，若不存在，请说明理由解 (1)由 2 知，动点 M到定点(1,0)和 x 1 2 y2 x 1 2 y2 2(1,0)的距离之和等于 2 ，根据椭圆的定义知，动点
5、M的轨迹是以定点(1,0)和(1,0)为2焦点的椭圆，且 a ， c 1，故 b1，因此椭圆方程为 y21.2x22(2)当直线 AB垂直于 x轴时，直线 AB方程为 x ，12此时 P( ，0)， Q( ，0)， 1，不合题意；2 2 F2P F2Q 当直线 AB不垂直于 x轴时，设存在点 N (m0)点，直线 AB的斜率为 k，(12， m)A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得：( x1 x2)2( y1 y2) 0，(y1 y2x1 x2)则14 mk0，故 k ，此时，直线 PQ斜率为 k14 m，14mPQ的直线方程为 y m4 m ，即 y4 mx m，(x1
6、2)联立Error! 消去 y，整理得：(32 m21) x216 m2x2 m220，3所以 x1 x2 ， x1x2 ，16m232m2 1 2m2 232m2 1由题意 0，于是F2P F2Q ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)1(4 mx1 m)(4mx2 m)F2P F2Q (116 m2)x1x2(4 m21)( x1 x2)1 m2 1 m2 0， 1 16m2 2m2 2 32m2 1 4m2 1 16m2 32m2 1 19m2 132m2 1 m ，因为 N在椭圆内， m2 ，1919 78 m 符合条件，1919综上所述，存在两点 N符合条件，坐
7、标为 N ， .12 19193设函数 f(x)ln x x1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1 x；x 1ln x(3)设 c1，证明当 x(0,1)时，1( c1) x cx.解 (1)由题设， f(x)的定义域为(0，)， f( x) 1，令 f( x)0 解得1xx1.当 0 x1 时， f( x)0， f(x)单调递增；当 x1 时， f( x)0， f(x)单调递减(2)由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln x x1.故当 x(1，)时，ln x x1，ln 1，即 1 x.1x 1x x 1ln x(
8、3)由题设 c1，设 g(x)1( c1) x cx，则 g( x) c1 cxln c，令 g( x)0，解得 x0 .lnc 1ln cln c当 x x0时， g( x)0， g(x)单调递增；当 x x0时， g( x)0， g(x)单调递减由(2)知 1 c，故 0 x01.c 1ln c4又 g(0) g(1)0，故当 0 x1 时， g(x)0.所以当 x(0,1)时，1( c1) x cx.4已知函数 f(x) x(ln x ax)(aR)(1)若 a1，求函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程；(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1， x2，且 x1 x2，求
9、证：f(x2) .12解 (1)由已知条件， f(x) x(ln x x)，当 x1 时， f(x)1，f( x)ln x12 x，当 x1 时， f( x)1，所以所求切线方程为 x y0.(2)由已知条件可得 f( x)ln x12 ax有两个相异实根 x1， x2，令 f( x) h(x)，则 h( x) 2 a(x0)，1x若 a0，则 h( x)0， h(x)单调递增， f( x)不可能有两根；若 a0，令 h( x)0 得 x ，可知 h(x)在 上单调递增，在 上单调递减，12a (0， 12a) (12a， )令 f 0 解得 0 a ，(12a) 12由 有 f 0，1e 12a (1e) 2ae由 有 f 2ln a1 0，1a2 12a (1a2) 2a从而 0 a 时函数 f(x)有两个极值点，12当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表x(0， x1)x1(x1， x2)x2(x2，)f( x) 0 0 f(x) f(x1)f(x2)因为 f(1)12 a0，所以 x11 x2， f(x)在区间1， x2上单调递增， f(x2) f(1) a .12
