1、1小题分层练(十) 压轴小题巧解练(2)(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2018东莞高三二模)已知函数 f(x)3 x 的图象上的两点( x0， y0)，ax(4 x0， x0 y0)关于原点对称，则函数 f(x)( )A. 在(，0)内单调递增B. 在(0，)内单调递减C在(，0)(0，)内单调递减D. 在(，0)(0，)在内单调递增A 易知函数 f(x)3 x 为奇函数，因为其图象上的两点( x0， y0)(4 x0， x0 y0)关ax于原点对称，所以Error!解得Error!即6 1，解得 a14，即 f(x)3 x ，则 f(x)a2 14x3 x 在(，0)内单调递增，故选
2、 A.14x2(2018江西高三质监)函数 f(x)的定义域为 D，若满足： f(x)在 D 内是单调函数；存在 a， bD 使得 f(x)在 a， b上的值域为 ，则称函数 f(x)为“成功函数” 若a2， b2函数 f(x)log m(mx2 t)(其中 m0，且 m1)是“成功函数” ，则实数 t 的取值范围为( )A(0，) B.( ，18C. D.18， 14) (0， 18)D 无论 m1 还是 0 m1， f(x)log m(mx2 t)都是 R 上的单调增函数，故应有Error!则问题可转化为求 f(x) ，即 f(x)log m(mx2 t) ，即 mx2 t m x 在 R
3、 上有x2 x2 12两个不相等的实数根的问题，令 m x( 0)，则 mx2 t m x 可化为12 12 2 2 t0，则Error!故 0 t ，选 D.183设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)对任意的 xR，都有 f(x2) f(x2)，且当 x2,0时， f(x) x1，若在区间(2,6内关于 x 的方程 f(x)(12)log a(x2)0( a1)恰好有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )A(1,2) B(2，)C(1， ) D( ，2)34 342D 对于任意的 xR，都有 f(x2) f(2 x)，函数 f(x)是一个周期函数，且T4.又当 x
4、2,0时， f(x) x1，且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，(12)若在区间(2,6内关于 x 的方程 f(x)log a(x2)0 恰有 3 个不同的实数解，则函数 y f(x)与 ylog a(x2)在区间(2,6上有三个不同的交点，如下图所示：又 f(2) f(2)3，则对于函数 ylog a(x2)，由题意可得，当 x2 时的函数值小于 3，当 x6 时的函数值大于 3，即 loga43，且 loga83，由此解得 a2.344已知椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A， B， F 为椭圆 C 的右焦点，圆x24 y23x2 y24 上有一动点 P， P 不同于 A， B 两
5、点，直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q，则 的取值范kPBkQF围是( )A. B(，0)( ， 34) (0， 34) (0， 34)C(，1)(0,1) D(，0)(0,1)D 由题意得 A(2,0)， B(2,0)， F(1,0)， PA PB.设点 Q 的坐标为( x0， y0)，则 kQAkQF y0x0 2 y0x0 1 y20 x0 2 x0 1 .12 3x204 x0 2 x0 1 3 2 x04 x0 1 ，kPBkQF 1kQAkQF 4 x0 13 x0 2 43(1 1x0 2)又 x0(2,2)且 x01， 0 或 0 1，43(1 1x0 2) 43(1 1x0
6、2)故 的取值范围为(，0)(0,1)选 D.kPBkQF5已知椭圆 E： 1( a b0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线x2a2 y2b23l：3 x4 y0 交椭圆 E 于 A， B 两点若| AF| BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，45则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A. B.(0，32 (0， 34C. D.32， 1) 34， 1)A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A， B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a2(| AF| BF|)8，所以 a2.又 d ，所以 1 b2，所以 e|30 4b|32 4 2 45 .因为 1 b2，所以 0 e .
7、ca 1 b2a2 1 b24 32(教师备选)(2018河南郑州高三二模)如图，已知抛物线 C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点(2,4)，圆 C： x2 y24 x30，过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于P， Q， M， N，则| PN|4| QM|的最小值为( )A. 23 B. 42C. 12 D. 52A 由题意抛物线过定点(2,4)，得抛物线方程 y28 x，焦点为 F(2,0)圆的标准方程为( x2) 2 y21，所以圆心为(2,0)，半径 r1.由于直线过焦点，所以有 1PF 1QF 2p，又| PN|4| QM|( PF1)(4 QF4) PF4 QF52
8、( PF4 QF) 5212 (1PF 1QF) 523，当且仅当 PF2 QF 时等号成立选 A.(54QFPF PFQF)6抛物线 C1： y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y21 的右焦点的连线交 C1于12p x23第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p( )A. B.316 384C. D.233 433D 经过第一象限的双曲线 C2的渐近线方程为 y x.抛物线 C1的焦点为 F1 ，33 (0， p2)双曲线 C2的右焦点为 F2(2,0)因为 y x2，所以 y x，所以抛物线 C1在点 M12p 1p处的切线斜率为 ，即 x0 ，所
9、以 x0 p.因为 F1 ， F2(2,0)， M(x0，x202p) 33 1p 33 33 (0， p2)三点共线，所以 ，解得 p ，故选 D.(33p， p6) p2 00 2p6 p233p 0 433(教师备选)(2018辽宁大连高三一模)若直线 kx y k10( kR)和曲线E： y ax3 bx2 (b0)的图象交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)(x1 x2 x3)三点时，53曲线 E 在 A、 C 点处的切线总是平行的，则过点( b， a)可作曲线 E 的几条切线( )A. 0 B. 1C. 2 D. 3C 直线 kx y k10( kR)
10、过定点(1,1)，由题意可知：定点(1,1)是曲线 E： y ax3 bx2 (b0)的对称中心，53Error!解得 Error!，所以曲线 E： y x3 x2 ，( b， a) .13 53 ( 1， 13)f( x) x22 x，设切点 M(x0， y0)，则 M 纵坐标 y0 x3 x ，又 f( x0) x 2 x0，13 20 53 20切线的方程为： y ( x 2 x0)(x x0)，(13x30 x20 53) 20又直线过定点 ， ( x 2 x0)(1 x0)，得( 1，13) 13 (13x30 x20 53) 20x 3 x020，( x x0)2( x01)0，即
11、( x01)( x x02)0，30 30 20解得 x02 或1，故可做两条切线，选 C.7(2018昆明二模)已知函数 f(x) k(ln x x)，若 x1 是函数 f(x)的唯一极exx值点，则实数 k 的取值范围是( )A(，e B(，e)C(e，) De，)5A 由函数 f(x) k(ln x x)，可得 f( x)exx k ， f(x)有唯一极值点 x1， f( x)0 有唯一根exx exx2 (1x 1) x 1x (exx k)x1， k0 无根，即 y k 与 g(x) 无交点，可得 g( x) ，由exx exx ex x 1x2g( x)0 得， g(x)在1，)上
12、递增，由 g( x)0 得， g(x)在(0,1)上递减， g(x)min g(1)e， ke，即实数 k 的取值范围是(，e，故选 A.8(2018广东茂名高三二模)若对任意的 x0，不等式 x22 mln x1( m0)恒成立，则 m 的取值范围是( )A1 B1，)C2，) De，)A 由已知可得 x22 mln x10 对任意的 x0 恒成立，设 f(x) x22 mln x1，则 f( x)2 x ，2mx 2 x2 mx当 m0 时 f( x)0 在(0，)上恒成立， f(x)在(0，)上单调递增，又 f(1)0，在(0,1)上 f(x)0，不合题意；当 m0 时，可知 f(x)在
13、(0， )单调递减，在( ，)单调递增，要使 f(x)0 在m m(0，)上恒成立，只要 f( )0，令 g(m) f( ) m mln m1( m0)， g( m)m mln m，可知 g(m)在(0,1)上单调递增，在(1，) 上单调递减，又 g(1)0， g(m)0， g(m)0， m1.故选 A.9已知函数 f(x) x3 ax24 在 x2 处取得极值，若 m， n1,1，则 f(m) f( n)的最小值是( )A13 B15C10 D15A 求导得 f( x)3 x22 ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342 a20，所以 a3.由此可得 f(x) x3
14、3 x24， f( x)3 x26 x，易知 f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，所以当 m1,1时， f(m)min f(0)4.又因为 f( x)3 x26 x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，所以当 n1,1时， f( n)min f(1)9.故 f(m) f( n)的最小值为13.10(2018四川德阳高三二诊)如图 43，过抛物线 y24 x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 l， l 与抛物线及其准线从上到下依次交于 A、 B、 C 点，令 1， 2，则|AF|BF| |BC|BF|6当 时， 1 2的值为( ) 3图 43A3 B4 C5 D6B 设 A(x1，
15、y1)， B(x2， y2)，则由过抛物线 y24 x 的焦点的直线的性质可得|AB| x1 x22 ，4sin260163 x1 x2 ，又 x1x2 1，可得 x13， x2 ，103 p24 13分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，则 1 |AF|BF| |AE|BD|3，同理可得 21， 1 24，故选 B.3 113 1 |BC|BF|二、填空题11(2018惠州二模)已知函数 f(x)对任意的 xR，都有 f f ，函数(12 x) (12 x)f(x1)是奇函数，当 x 时， f(x)2 x，则方程 f(x) 在区间3,5内的所有12 12 12零点之和为
16、_4 函数 f(x1)是奇函数，函数 f(x1)的图象关于点(0,0)对称，把函数 f(x1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 f(x)的图象，即函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称，则 f(2 x) f(x)又 f f ， f(1 x) f(x)，从而 f(2 x) f(1 x)，(12 x) (12 x) f(x1) f(x)，即 f(x2) f(x1) f(x)7函数 f(x)的周期为 2，且图象关于直线 x 对称，画出函数 f(x)的图象如图所示：12结合图象可得 f(x) 在区间3,5内有 8 个零点，且所有零点之和为12244.12(教师备选)已知在直角梯形 ABCD 中，
17、AB AD， CD AD， AB2 AD2 CD2，将直角梯形 ABCD 沿AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为_已知直角梯形 ABCD， AB AD， CD AD， AB2 AD2 CD2，沿 AC 折叠成三棱锥，43如图： AB2， AD1， CD1， AC ， BC ， BC AC，2 2取 AC 的中点 E， AB 的中点 O，连接 DE， OE，当三棱锥体积最大时，平面 DCA平面 ACB， OB OA OC OD， OB1，就是外接球的半径为 1，此时三棱锥外接球的体积： 13 .43 4312(2018沈阳二模)已知椭圆 1 的右焦
18、点为 F， P 是椭圆上一点，点 A(0,3x216 y27)，当 APF 的周长最大时， APF 的面积为_3椭圆 1 中， a4， b ， c3，由题意，设 F是左焦点，则120311 x216 y27 7APF 周长| AF| AP| PF| AF| AP|2 a| PF|86| PA| PF|14| AF|( A， P， F三点共线时，且 P 在 AF的延长线上，取等号)，此时 kAP ， AF F ，3 38 FF P ，设| PF| x，则| PF|8 x，由余弦定理得(8 x)232 x23626 xcos ， x ，所以 APF 的面积 S S AF F S PF F 623
19、1411 12 .(33141132) 12031113(2018安庆二模)锐角三角形的三个内角分别为 A、 B、 C，sin( A B) ，sin 15C ， AB6，则 ABC 的面积为_35126 sin( A B)sin Acos Bsin Bcos A ，615sin Csin( A B)sin Acos Bsin Bcos A ，35sin Acos B ，sin Bcos A ，25 15sin 2A(1sin 2B) ，sin 2B(1sin 2A) ，425 125sin 2Asin2B ，(425 sin2Asin2B)(125 sin2Asin2B)sin2Asin2B ，sin Asin B ， 6 2 225 6 25S absin C sin C6( 2)12 csin A2sin C csin Bsin C 6
