1、1第五讲 导数的应用(一)年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷函数的奇偶性应用及切线方程求法T 62018卷 切线方程求法T 132017 卷 切线方程的求法T 14函数的单调性、导数的应用T 12卷 利用导数研究函数的单调性、零点T 21卷求切线方程、利用导数研究不等式T 20利用导数的几何意义求切线方程、函数的奇偶性T 162016卷利用导数研究函数的单调性、不等式的证明T 21命题分析1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问2.高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，
2、难度中等有时出现在解答题第一问学科素养导数的应用主要是通过利用导数研究单调性解决最值、不等式、函数零点等问题，着重考查逻辑推理与数学运算这两大核心素养与分析问题解决问题的能力.导数的运算及几何意义授课提示：对应学生用书第 12 页悟通方法结论1导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k f( x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax) axln a(a0)；(4)(loga
3、x) (a0，且 a1)1xln a2全练快速解答1若直线 y ax 是曲线 y2ln x1 的一条切线，则实数 a 的值为( )A BC D解析：依题意，设直线 y ax 与曲线 y2ln x1 的切点的横坐标为 x0，则有y| x x0 ，于是有Error!解得Error!2x0答案：B2(2018高考全国卷)设函数 (x) x3( a1) x2 ax，若 (x)为奇函数，则曲线 y (x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y xC y2 x D y x解析：法一： (x) x3( a1) x2 ax， ( x)3 x22( a1) x a.又 (x)为奇函数， ( x)
4、 (x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax 恒成立， a1， ( x)3 x21， (0)1，曲线 y (x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.法二： (x) x3( a1) x2 ax 为奇函数， ( x)3 x22( a1) x a 为偶函数， a1，即 ( x)3 x21， (0)1，曲线 y (x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.答案：D3(2018山东四市联考) 已知函数 f(x) x2 ax1x33 b2的部分图象如图所示，则函数 g(x) aln x 在点 (b， g(b)处f xa的切线的斜率的最小值是_解析：由题意
5、， f( x) x2 bx a，根据 f(x)的图象的极大值点、极小值点均大于零，可得 b0， a0，又 g( x) ，则 g( b)ax 2x ba3 2，当且仅当 a b 时取等号，所以切线斜率的最小值为 2.ab 2b ba ab ba答案：2【类题通法】求曲线 y f(x)的切线方程的 3 种类型及方法(1)已知切点 P(x0， y0)，求切线方程求出切线的斜率 f( x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率 k，求切线方程设切点 P(x0， y0)，通过方程 k f( x0)解得 x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点 P(x0， y0)，利
6、用导数求得切线斜率 f( x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程利用导数研究函数的单调性授课提示：对应学生用书第 12 页悟通方法结论导数与函数单调性的关系(1)f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0.(2)f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x)0 时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性(2017高考全国卷)(12 分)已知函数 .fx exex a a2x(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 ，求 a 的取值范围fx 0学审
7、题条件信息 想到方法 注意什么信息：已知f(x)的解析式可求导函数 f( x)(1)要讨论函数的单调性，必须先求出函数定义域4信息： f(x)0函数的最小值 f(x)min0(2)对于含参数的问题，要根据不同情况对参数进行分类讨论规范解答 (1)函数 f(x)的定义域为(，)， (1 分)f( x)2e 2x aex a2(2e x a)(ex a)若 a0，则 f(x)e 2x在(，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0，得 xln a.当 x(，ln a)时， f( x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(3 分)若 a0；(ln(a2)， )故 f(
8、x)在 上单调递减，( ， ln(a2)在 上单调递增 (6 分)(ln(a2)， )(2)若 a0，则 f(x)e 2x，所以 f(x)0. (7 分)若 a0，则由(1)得，当 xln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a) a2ln a.从而当且仅当 a2ln a0，即 00)上的单调性解析：(1)由 f(x) x(ln x a)(x1)，得 f( x)ln x a1，因为对任意实数 b，直线 y x b 与函数 f(x)的图象都不相切，所以 f( x)ln x a11，即 aln x2.而函数 yln x2 在1，)上单调递增，所以 ln x2ln 122，故 a0，1
9、e2 1e2 1e26因此 f(x)在 t， )上单调递减，在( ， te上单调递增1e2 1e2当 t 时，在 t， te上， f( x)0 恒成立，1e2所以 f(x)在 t， te上单调递增综上所述，当 00，解得 x1，令 f( x)0)，故 f( x)在(0，)上有两个不同的零点，令 f( x)0，则 2a ，ln x 1x设 g(x) ，则 g( x) ，ln x 1x ln xx2 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当 x0 时， g(x)，当 x时， g(x)0，而 g(x)max g(1)1，只需 00， f(x)在(0，)上单调递增；9当 m0 时，令
10、 f( x)0 得 0 ，m2m m2m f(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减m2m m2m(2)由(1)知，当 m0 时， f(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减m2m m2m f(x)max f( )ln 2 m nln 2 ln m nln 2，m2m m2m 14m 12 12 n ln m ， m n m ln m ，12 12 12 12令 h(x) x ln x (x0)，则 h( x)1 ，12 12 12x 2x 12x h(x)在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增，12 12 h(x)min h( ) ln 2，12 12 m n 的最
11、小值为 ln 2.12授课提示：对应学生用书第 111 页一、选择题1曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A e2 B2e 294Ce 2 De22解析：由题意可得 ye x，则所求切线的斜率 ke 2，则所求切线方程为 ye 2e 2(x2)即 ye 2xe 2， S 1e2 .12 e22答案：D2(2018西宁一检)设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10 垂直，x 1x 1则 a( )10A2 B2C D12 12解析：由 y 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为 ，又切线与直线 2x 12 12ax y10 垂直，则 a2.答案：A
12、3(2018北京模拟)曲线 f(x) xln x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为( )A B 6 4C D 3 2解析：因为 f(x) xln x，所以 f( x)ln x x ln x1，所以 f(1)1，所1x以曲线 f(x) xln x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 . 4答案：B4已知函数 f(x) x25 x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是( )A 和(1，) B(0,1)和(2，)(0，12)C 和(2，) D(1,2)(0，12)解析：函数 f(x) x25 x2ln x 的定义域是(0，)，令 f( x)2 x5 2x 0，解得 02，故函数 f(
13、x)的单调递增区间是 和2x2 5x 2x x 22x 1x 12 (0， 12)(2，)答案：C5函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，( x1)f( x)0，所以函数 f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以 a f(0)0)设 g(x) ，则x2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) x 2(exx k)x2 exxg( x) ，则 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1， )上单调递增x 1exx2 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x) 与 y k 的图象可知，要exx满足题意，只需 ke.答案：A8已知函数 f(x
14、)ln x nx(n0)的最大值为 g(n)，则使 g(n) n20 成立的 n 的取值范围为( )A(0,1) B(0，)12C D(0，14) 12， )解析：易知 f(x)的定义域为(0，)，f( x) n(x0， n0)，1x当 x 时， f( x)0；(0，1n)当 x 时， f( x)h(1)0，故使 g(n) n20 成立的 n 的取值范围为(0,1)，故选 A.答案：A二、填空题9(2018高考全国卷)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为 y ， y| x1 2，2x所以切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.答案： y2 x210(2016高考全
15、国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)e x1 x，则曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设 x0，则 x0 时， f( x)e x1 1， f(1)e 11 1112.曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22( x1)，即 2x y0.答案：2 x y011(2018太原二模)若函数 f(x)sin x ax 为 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是_解析： f( x)cos x a，由题意可知， f( x)0 对任意的 xR 都成立，13 a1，故实数 a 的取值范围是(，1答案：(，112(2018新乡一模)设 x1， x2是函数 f(
16、x) x32 ax2 a2x 的两个极值点，若x10， f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f( x)0，得 ex a，即 xln a x(，ln a)时， f( x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时， f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值14(2018福州质检)已知函数 f(x) aln x x2 ax(aR)(1)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)
17、的单调区间；(2)求 g(x) f(x)2 x 在区间1，e上的最小值 h(a)解析：(1) f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 x a ，ax 2x2 ax ax因为 x3 是 f(x)的极值点，所以 f(3) 0，解得 a9，18 3a a314所以 f( x) ，2x2 9x 9x 2x 3x 3x所以当 03 时， f( x)0；32当 x3 时， f( x)0.32所以 f(x)的单调递增区间为 ，(3，)，单调递减区间为 .(0，32) (32， 3)(2)g(x) aln x x2 ax2 x，则 g( x) 2 .2x2 ax ax 2x ax 1x令 g( x)0，得 x 或 x1.a2当 1，即 a2 时， g(x)在1，e上为增函数，a2h(a)min g(1) a1；当 1 e，即 2a2e 时， g(x)在 上为减函数，在 上为增函数，a2 1， a2) (a2， eh(a)min g aln a2 a；(a2) a2 14当 e，即 a2e 时， g(x)在1，e上为减函数，a2h(a)min g(e)(1e) ae 22e.综上， h(a)minError!
