1、1第五讲 导数的应用（一）一、选择题1曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A e2 B2e 294Ce 2 De22解析：由题意可得 ye x，则所求切线的斜率 ke 2，则所求切线方程为 ye 2e 2(x2)即 ye 2xe 2， S 1e2 .12 e22答案：D2(2018西宁一检)设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10 垂直，x 1x 1则 a( )A2 B2C D12 12解析：由 y 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为 ，又切线与直线 2 x 1 2 12ax y10 垂直，则 a2.答案：A3(2018北京模拟)曲线 f(
2、x) xln x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为( )A B 6 4C D 3 2解析：因为 f(x) xln x，所以 f( x)ln x x ln x1，所以 f(1)1，所1x以曲线 f(x) xln x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 . 4答案：B4已知函数 f(x) x25 x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是( )A 和(1，) B(0,1)和(2，)(0，12)2C 和(2，) D(1,2)(0，12)解析：函数 f(x) x25 x2ln x 的定义域是(0，)，令 f( x)2 x5 2x 0，解得 02，故函数 f(x)的单调递增区间是2x2 5
3、x 2x x 2 2x 1x 12和(2， )(0，12)答案：C5函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，( x1)f( x)0，所以函数 f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以 a f(0)0)设 g(x) ，则x2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) x 2 (exx k)x2 exxg( x) ，则 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增 x 1 exx2 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x) 与 y k 的图象可知，要exx满足题意，只需 ke.答案：A8已知函数 f(x)ln x nx(n0)的最
4、大值为 g(n)，则使 g(n) n20 成立的 n 的取值范围为( )A(0,1) B(0，)C D(0，14) 12， )解析：易知 f(x)的定义域为(0，)，f( x) n(x0， n0)，1x当 x 时， f( x)0；(0，1n)当 x 时， f( x)h(1)0，故使 g(n) n20 成立的 n 的取值范围为(0,1)，故选 A.答案：A二、填空题49(2018高考全国卷)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为 y ， y| x1 2，2x所以切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.答案： y2 x210(2016高考全国卷)已知 f(x)为偶函数，
5、当 x0 时， f(x)e x1 x，则曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设 x0，则 x0 时， f( x)e x1 1， f(1)e 11 1112.曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22( x1)，即 2x y0.答案：2 x y011(2018太原二模)若函数 f(x)sin x ax 为 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是_解析： f( x)cos x a，由题意可知， f( x)0 对任意的 xR 都成立， a1，故实数 a 的取值范围是(，1答案：(，112(2018新乡一模)设 x1， x2是函数 f(x) x32 ax2 a2x 的两
6、个极值点，若x10， f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f( x)0，得 ex a，即 xln a x(，ln a)时， f( x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时， f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值14(2018福州质检)已知函数 f(x) aln x x2 ax(aR)(1)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间；(2)求 g(x) f
7、(x)2 x 在区间1，e上的最小值 h(a)解析：(1) f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 x a ，ax 2x2 ax ax因为 x3 是 f(x)的极值点，所以 f(3) 0，解得 a9，18 3a a3所以 f( x) ，2x2 9x 9x 2x 3 x 3x所以当 03 时， f( x)0；32当 x3 时， f( x)0.32所以 f(x)的单调递增区间为 ，(3，)，单调递减区间为 .(0，32) (32， 3)(2)g(x) aln x x2 ax2 x，则 g( x) 2 .2x2 ax ax 2x a x 1x令 g( x)0，得 x 或 x1.a2当 1，即 a2 时， g(x)在1，e上为增函数，a2h(a)min g(1) a1；当 1 e，即 2a2e 时， g(x)在 上为减函数，在 上为增函数，a2 1， a2) (a2， eh(a)min g aln a2 a；(a2) a2 14当 e，即 a2e 时， g(x)在1，e上为减函数，a26h(a)min g(e)(1e) ae 22e.综上， h(a)minError!
