1、1第四讲 不等式年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 线性规划求最值T 14卷 线性规划求最值T 142018卷 线性规划求最值T 15卷 线性规划求最值T 7卷 线性规划求最值T 72017卷 线性规划求范围T 5不等式比较大小、函数的单调性T 8卷线性规划的实际应用T 16一元二次不等式的解法、集合的交集运算T 1卷线性规划求最值T 14不等式比较大小、函数的单调性T 72016卷线性规划求最值T 131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查3.不等式的解法多与集
2、合、函数、解析几何、导数交汇考查.不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第 10 页悟通方法结论1一元二次不等式 ax2 bx c0(或0)，如果 a 与ax2 bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2 bx c 异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论全练快速解答1(2018深圳一模)已知 ab0， cbc B acbcClog a(a c)logb(b c) D aa c bb c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为 ab，
3、c0，又 ab0，由不等式的性质可得 a cb c0，即 1ac0，再由反比例函数的性质可得 ac12 14 12 3410，即 loga(a c)b0， cb c0， b a0，即 0，cb aa cb c aa c bb c所以 ，故 D 正确aa c bb c综上，选 D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取 a4， b2， c2.则 A 项， ac8， bc4，所以 ac0，即 x2 时，不等式可化为( x2) 24，所以 x4；当x20 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A. B.( 2，14) ( ， 14C. D.(12， 32) ( ， 6解析：根据题意，由于 12 x( a
4、 a2)4x0 对于一切的 x(，1恒成立，令2xt(00a a2 ，故只要求解 h(t)1 tt2 (0 ，所以 4a24 a30(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解2掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a 对一切 x I 恒成立 f(x)mina； f(x)g(x)对一切 x I 恒成立 f(x)的图象在 g(x)的图象的上方(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常
5、用到函数单调性、基本不等式等.基本不等式授课提示：对应学生用书第 10 页悟通方法结论求最值时要注意三点：“一正” “二定” “三相等” 所谓“一正”指正数， “二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值， “三相等”是指等号成立全练快速解答1(2018长春模拟)已知 x0， y0，且 4x y xy，则 x y 的最小值为( )A8 B9C12 D16解析：由 4x y xy 得 1，则4y 1xx y( x y) 142 59，当且仅当 ，即 x3， y6 时取(4y 1x) 4xy yx 4 4xy yx“” ，故选 B.答案：B2(2017高考天津卷)若 a， bR， ab0，则 的最小
6、值为_a4 4b4 1ab解析：因为 ab0，所以 4 ab 2 4，a4 4b4 1ab 24a4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 4ab1ab当且仅当Error!时取等号，5故 的最小值是 4.a4 4b4 1ab答案：43(2017高考江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析：由题意，一年购买 次，则总运费与总存储费用之和为 64 x4600x 600x8 240，(900x x) 900xx当且仅当 x30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时
7、 x 的值是 30.答案：30【类题通法】掌握基本不等式求最值的 3 种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为 y m Bg(x)(A0， B0)， g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不Agx等式来求最值简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第 11 页悟通方法结论平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到
8、最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决6全练快速解答1(2017高考全国卷)设 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的取值范围是( )A3,0 B3,2C0,2 D0,3解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l0： y x，平移直线 l0，当直线 z x y 过点 A(2,0)时， z 取得最大值 2，当直线 z x y 过点 B(0,3)时， z 取得最小值3，所以z x y 的取值范围是3,2答案：B2已知平面上的单位向量 e1与 e2 的起点均为坐标原点 O，它们的夹角为 .平面区 3域 D 由所有满足 e1 e
9、2的点 P 组成，其中Error! 那么平面区域 D 的面积为( )OP A. B.12 3C. D.32 34解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量 e1(1,0)， e2 ，设向量(12， 32)( x， y)，因为 e1 e2，所以Error!即Error!因为Error!所以Error! 表示的平面OP OP 区域 D 如图中阴影部分所示，所以平面区域 D 的面积为 ，故选 D.34答案：D3(2018福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时
10、生产一把椅子的利润为 1 500 元，生产一张桌子的利润为 2 000 元该厂每个月木工最多完成 8 000 个工作时、漆工最多完成 1 300 个工作时根据以上条件，7该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元解析：设该厂每个月生产 x 把椅子， y 张桌子，利润为 z 元，则得约束条件Error!画出不等式组Error!表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线 3x4 y0，平移该直线，可知当该直线经过点 P 时， z 取得最大值由Error!得Error! 即 P(200,900)，所以 zmax1 5002002 0009002 100 000.故每个月所获得的最大利润为 2 100
11、000元答案：2 100 000【类题通法】解决线性规划问题的 3 步骤练通即学即用1(2018湘东五校联考)已知实数 x， y 满足Error!且 z x y 的最大值为 6，则(x5) 2 y2的最小值为( )A5 B3C. D.5 3解析：作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，8由 z x y，得 y x z，平移直线 y x，由图形可知当直线 y x z 经过点A 时，直线 y x z 的纵截距最大，此时 z 最大，最大值为 6，即 x y6.由Error!得A(3,3)，直线 y k 过点 A， k3.( x5) 2 y2的几何意义是可行域内的点与 D(5,0)的
12、距离的平方，数形结合可知，(5,0)到直线 x2 y0 的距离最小，可得( x5) 2 y2的最小值为 25.故选 A.(| 5 20|12 22 )答案：A2已知变量 x， y 满足约束条件Error!记 z4 x y 的最大值是 a，则 a_.解析：如图所示，变量 x， y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示作出直线4x y0，平移直线，知当直线经过点 A 时， z 取得最大值，由Error!解得Error! 所以A(1，1)，此时 z4113，故 a3.答案：33(2018高考全国卷)若 x、 y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行
13、域如图阴影部分所示9由 z3 x2 y 得 y x .32 z2作直线 l0： y x.平移直线 l0，当直线 y x 过点(2,0)时， z 取最大值，32 32 z2zmax32206.答案：6授课提示：对应学生用书第 110 页一、选择题1已知互不相等的正数 a， b， c 满足 a2 c22 bc，则下列等式中可能成立的是( )A abc B bacC bca D cab解析：若 ab0，则 a2 c2b2 c22 bc，不符合条件，排除 A，D；又由 a2 c22 c(b c)得 a c 与 b c 同号，排除 C；当 bac 时， a2 c22 bc 有可能成立，例如：取 a3，
14、b5， c1.故选 B.答案：B2已知 ba0， a b1，则下列不等式中正确的是( )Alog 3a0 B3 a b0 可得 log3alog31，所以 a1，这与 ba0， a b1 矛盾，所以 A 不正确；对于 B，由 3a ba0， a b1 矛盾，所以 B 不正确；对于 C，由 log2alog 2ba0， a b12 ，所以 aba0， a b1，所以 3 32 6, 所以 D 不正确，故选 C.(ba ab) baab答案：C3在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x b)0 的解集是(2,3)，则a b( )A1 B210C4 D8解析：由题知( x a
15、)(x b)( x a)1( x b)0，即( x a)x( b1)f(1)的解集是( )A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：由题意得， f(1)3，所以 f(x)f(1)，即 f(x)3.当 x3，解得33，解得 x3 或 0 x0)的解集为( x1， x2)，则x1 x2 的最小值是( )ax1x2A. B.63 233C. D.433 26312解析：关于 x 的不等式 x24 ax3 a20)的解集为( x1， x2)， 16 a212 a24 a20，又 x1 x24 a， x1x23 a2， x1 x2 4 a 4 a 2 ，当
16、且仅当 a 时取等号ax1x2 a3a2 13a 4a13a 433 36 x1 x2 的最小值是 .ax1x2 433答案：C11某旅行社租用 A， B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为( )A31 200 元 B36 000 元C36 800 元 D38 400 元解析：设租用 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，目标函数为 z1 600x2 400 y，则约束条件为Error!作出可
17、行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点 A(5,12)时，有最小值 zmin36 800(元)答案：C12(2018淄博模拟)已知点 P(x， y)( x， y)|Error!M(2，1)，则 (O 为坐OM OP 标原点)的最小值为( )A2 B4C6 D8解析：由题意知 (2，1)， ( x， y)，设 z 2 x y，显然集合( x， y)OM OP OM OP |Error!对应不等式组Error! 所表示的平面区域作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数 z2 x y 对应的直线经过点 A 时， z 取得最小值由Error!得 A(2,2) ，所以目标函
18、数的最小值 zmin2( 2)26，即 的最小值为6，故选 C.OM OP 答案：C二、填空题13(2018青岛模拟)若 a0， b0，则( a b) 的最小值(2a 1b)是_解析：( a b) 2 13 ，因为 a0， b0，所以( a b)(2a 1b) 2ba ab 2ba ab1332 32 ，当且仅当 ，即 a b 时等号成立所以所求最小(2a 1b) 2baab 2 2ba ab 2值为 32 .2答案：32 214(2018高考全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为_解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)， x y 取得最大值斜率为1 的
19、直线 x y z(z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线 x y z 过点 C 时 z 取得最大值由Error! 得点 C(5,4)， zmax549.答案：915(2018石家庄模拟)若 x， y 满足约束条件Error!则 z 的最小值为y 2x 3_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数 z 表示区域内的点与点 P(3,2)连线的斜率由图y 2x 3知当可行域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为 y2 k(x3)，即 kx y3 k20，则有 2，解得|3k 2|k2 1k 或 k0(舍去)，所以 zmin .125 125答案：12516已知 ab1，且 2logab3log ba7，则 a 的最小值为_1b2 1解析：令 logabt，由 ab1 得 0t1,2logab3log ba2t 7，得 t ，即3t 12logab ， a b2，所以 a a1 12 13，当且仅当12 1b2 1 1a 1 a 11a 1a2 时取等号. 故 a 的最小值为 3.1b2 1答案：3
