1、1第二讲 不等式选讲年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题T 23卷绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题T 232018卷 分段函数图象的画法与应用T 23卷含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围T 23卷基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法T 232017卷含绝对值不等式的解法、函数最值的求解T 23卷含绝对值不等式的解法、分段函数的图象T 24卷含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式T 242016卷含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质T 241.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式
2、的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.含绝对值不等式的解法及应用授课提示：对应学生用书第 71 页悟通方法结论1| ax b| c，| ax b| c 型不等式的解法(1)若 c0，则| ax b| c c ax b c，| ax b| cax b c 或ax b c，然后根据 a， b 的取值求解即可；2(2)若 c0，则| ax b| c 的解集为，| ax b| c 的解集为 R.2| x a| x b| c，| x a| x b| c(c0)型不等式的解法(1)令
3、每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集(2017高考全国卷)(10 分)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围规范解答 (1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40.当 x1 时，式化为 x2 x40，从而 12 时，由
4、 f(x)1 解得 x2.所以 f(x)1 的解集为 x|x1(2)由 f(x) x2 x m，得 m| x1| x2| x2 x.而| x1| x2| x2 x| x|1| x|2 x2| x| 2(|x|32) 54 ，54且当 x 时，| x1| x2| x2 x .32 54故 m 的取值范围为 .( ，542(2018成都模拟)已知函数 f(x)| x2| k|x1|， kR.(1)当 k1 时，若不等式 f(x)4 的解集为 x|x1 x x2，求 x1 x2的值；5(2)当 xR 时，若关于 x 的不等式 f(x) k 恒成立，求 k 的最大值解析：(1)由题意，得| x2| x
5、1|4.当 x2 时，原不等式可化为 2x5，2 x ；52当 x1 时，原不等式可化为2 x3， x1；32当1 x2 时，原不等式可化为 34，1 x2.综上，原不等式的解集为 x| x ，即 x1 ， x2 .32 52 32 52 x1 x21.(2)由题意，得| x2| k|x1| k.当 x2 时，即不等式 3k k 成立， k0.当 x2 或 x0 时，| x1|1，不等式| x2| k|x1| k 恒成立当2 x1 时，原不等式可化为 2 x kx k k，可得 k 1 ，2 xx 2 4x 2 k3.当1 x0 时，原不等式可化为 2 x kx k k，可得 k1 ，2x k
6、3.综上，可得 0 k3，即 k 的最大值为 3.【类题通法】不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f(x) a 恒成立 f(x)min a； f(x) a 恒成立 f(x)max a； f(x) a 有解 f(x)max a； f(x) a 有解 f(x)min a； f(x) a 无解 f(x)max a； f(x) a 无解 f(x)min a.不等式的证明授课提示：对应学生用书第 72 页悟通方法结论6证明不等式的 5 个基本方法(1)比较法：作差或作商比较(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论(3)分析法：执果索因的证明方法(4)反证法：
7、反设结论，导出矛盾(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法全练快速解答1(2017高考全国卷)已知 a0， b0， a3 b32.证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2) a b2.证明：(1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)23a b24，3a b34所以( a b)38，因此 a b2.2(2018南宁柳州联考)已知函数 f(x)| x1|.(1)求不等式 f(x)32| x|的解
8、集；(2)若函数 g(x) f(x)| x3|的最小值为 m，正数 a， b 满足 a b m，求证： a2b4.b2a解析：(1)当 x1 时， x132 x，解得 x ， x ；43 43当 0 x1 时，1 x32 x，解得 x2，无解；当 x0 时，1 x32 xx ， x .23 23原不等式的解集为 x|x 或 x 43 23(2)证明：法一： g(x)| x1| x3|( x1)( x3)|4， m4，即a b4.又 b2 a， a2 b，a2b b2a两式相加得( b)( a)2 a2 b， a b4，a2b b2a a2b b2a当且仅当 a b2 时等号成立7法二： g(x
9、)| x1| x3|( x1)( x3)|4， m4，即 a b4，由柯西不等式得( )(b a)( a b)2， a b4，a2b b2a a2b b2a当且仅当 ，即 a b2 时等号成立a2bbb2aa【类题通法】不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明， “平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少” “至多”等方式给出，则考虑用反证法(3)能转化为比较大小的可以用比较法(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法.授课提示：对应学生用书第 144 页1已
10、知函数 f(x)|2 x1|， xR.(1)解不等式 f(x)| x|1；(2)若对 x， yR，有| x y1| ，|2 y1| ，求证： f(x)1.13 16解析：(1) f(x)| x|1，|2 x1| x|1，即Error! 或Error!或Error!得 x2 或 0 x 或无解12 12故不等式 f(x)| x|1 的解集为 x|0 x2(2)证明： f(x)|2 x1|2( x y1)(2 y1)|2( x y1)|2 y1|2| x y1|2 y1|2 1.13 16 562(2018高考全国卷)设函数 (x)|2 x1| x1|.(1)画出 y (x)的图象；8(2)当 x
11、0，)时， (x) ax b，求 a b 的最小值解析：(1) (x)Error!y (x)的图象如图所示(2)由(1)知， y (x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时， (x) ax b 在0，)成立，因此 a b 的最小值为 5.3(2018福州四校联考)(1)求不等式2| x1| x2|0 的解集；(2)设 a， b 均为正数， hmax ，证明： h2.2a， a2 b2ab ， 2b解析：(1)记 f(x)| x1| x2|Error!由22 x10，解得 x ，则不等式的解集为( ， )12 12 12 12(2
12、)证明： h ， h ， h ，2a a2 b2ab 2bh3 8，当且仅当 a b 时取等号， h2.4a2 b2ab 42abab4(2018石家庄模拟)已知函数 f(x)| ax1|( a2) x.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点，求实数 a 的取值范围解析：(1)当 a3 时，不等式可化为|3 x1| x0，即|3 x1| x，3 x1 x 或 3x1 x，解得 x 或 x ，12 14故 f(x)0 的解集为 x|x 或 x 14 129(2)当 a0 时， f(x)Error!要使函数 f(x)的图象与 x 轴无交点，只需Error! 得 1 a2；当 a0 时， f(x)2 x1，函数 f(x)的图象与 x 轴有交点；当 a0 时， f(x)Error!要使函数 f(x)的图象与 x 轴无交点，只需Error! 此时无解综上可知，当 1 a2 时，函数 f(x)的图象与 x 轴无交点
